§4. Понятие проективных координат

Пусть Vⁿ⁺¹ – действительное векторное пространство. Выберем базис в Vⁿ⁺¹: {e₁, e₂, …, e_n+1}. Произвольный вектор x из Vⁿ⁺¹ однозначно представляется в виде линейной комбинации базисных векторов:

x = x¹e₁ + x²e₂ + … + xⁿ⁺¹e_n+1 = xⁱe_i, i = 1, 2, …, n+1

Допустим, что n-мерное проективное пространство Pⁿ порождается Vⁿ⁺¹, т.е. задано сюръективное отображение f : (Vⁿ⁺¹\{0}) Pⁿ, переводящее коллинеарные векторы в одну проективную точку.

Определение. Говорят, что упорядоченная система (n+2) точек (A₁, A_2, …, A_n+1, E) проективного пространства Pⁿ занимает общее положение, если никакие (n+1) точки из них не принадлежат(n-1)-мерному проективному пространству.

При n = 1: Упорядоченная система из трех точек (A₁, A_2, E) на проективной прямой занимает общее положение, если три точки попарно различны.

При n = 2: Упорядоченная система из четырех точек (A₁, A_2, A₃, E) на проективной плоскости занимает общее положение, если никакие три из них не принадлежат одной прямой.

При n = 3: Упорядоченная система из пяти точек (A₁, A_2, A₃, A_4, E) в трехмерном проективном пространстве занимает общее положение, если никакие четыре из них не принадлежат одной плоскости.

Определение. Проективным репером в Pⁿ называется упорядоченная система (n+2) точек общего положения:  = (A₁, A_2, …, A_n+1, E). Последняя точка Е репера называется единичной.

Фиксируем некоторый проективный репер  в Pⁿ. Пусть векторы a₁, a₂, …, a_n+1, e из Vⁿ⁺¹ порождают точки A₁, A_2, …, A_n+1, E. Поскольку точки A₁, A_2, …, A_n+1 не принадлежат проективному пространству размерности n-1, то векторы a₁, a₂, …, a_n+1 образуют базис в Vⁿ⁺¹, а вектор e представляется в виде линейной комбинации базисных векторов:

e = e¹a₁+e²a₂+…+eⁿ⁺¹a_n+1.

Введем новые векторы b_i = eⁱa_i, i = 1, 2, …, n+1. Система векторов {b_i} также образует базис в Vⁿ⁺¹ , этот базис называется согласованным с репером . Условие согласования имеет вид:

b₁ + b₂ + … + b_n+1 = e

Произвольная точка М проективного пространства может быть порождена ненулевым вектором m = mⁱb_i. Координаты вектора m образуют проективные координаты точки M(m¹, m², m³, …, mⁿ⁺¹). Таким образом, каждая точка n-мерного проективного пространства имеет (n+1) координат, задаваемых с точностью до ненулевого множителя, причем все проективные координаты точки не могут одновременно обращаться в нуль.

Задача 9. На расширенной плоскости задана расширенная прямая с доступными точками проективного репера (A₁, A₂, E). Построить точки M(–1, 1), N(–4, ), L(–3, 3) по их проективным координатам.

Задача 10. На расширенной плоскости задана связка прямых с центром в точке О, с фиксированными прямыми a₁, a₂, e, образующими репер в модели проективной прямой. Построить прямые m(–1, 1), n(–4, ), l(–3, 3) по их проективным координатам.

Задача 11. На расширенной прямой задан проективный репер (A₁, A₂, E), причем одна из этих трех точек является бесконечно удаленной. Построить точку М по заданным ее координатам.

Задача 12. На расширенной прямой задан проективный репер (A₁, A₂, E), где A₁ и A₂ – собственные точки, а E – середина отрезка [A₁, A₂]. Найти координаты несобственной точки в репере .

Задача 13. Известно, что для построения точки M(x¹, x²) по ее координатам в проективном репере (A₁, A₂, E) на расширенной прямой нужно выбрать на расширенной плоскости, содержащей , точку O, соединить точку О с точками A₁, A₂, E прямыми, на единичной прямой (ОЕ) выбрать ненулевой единичный вектор е, разложить его по правилу параллелограмма на сумму базисных векторов a₁ и a₂, лежащих на прямых (ОA₁) и (ОA₂). Тогда аффинный репер (O, a₁, a₂) порождает проективный репер (A₁, A₂, E). По известным координатам x¹ и x² строим ненулевой вектор m = x¹a₁ + x²a₂, m = , тогда искомая точка M=(OM). Доказать, что положение точки М на прямой не зависит от выбора аффинного репера (O, a₁, a₂).

Задача 14. На расширенной прямой заданы собственные точки (A₁, A₂, E) – образующие репер , в котором собственная точка M, MA₁ имеет координаты x¹, x². Доказать:

Напоминание: Если простое отношение трех точек (A₁, A₂, М)=tR, то это значит, что =, MA₁.