Приклади розв’язування типових задач з геометрії для 7 класу
Треба добре розуміти: коли ми доводимо теорему або розв’язуємо задачу, кожне твердження треба обґрунтувати, тобто показати, що воно випливає з якої-небудь аксіоми чи раніше доведеної теореми. Якщо ви спираєтеся на якусь теорему, ретельно перевірте, чи повністю виконано її умову. Наприклад, при застосуванні першої ознаки рівності трикутників перевірте, чи дійсно даний кут лежить між даними сторонами, і т. д. Не можна у своїх міркуваннях спиратися тільки на рисунок, проте грамотно виконаний рисунок сприяє розв’язанню задачі. Також корисним є чіткий запис умови і того, що треба знайти або довести.
Задача на ознаки рівності трикутників
Задача. На рисунку ; . Довести, що . Доведення: (Зверніть увагу: дані кути не є кутами трикутників, що розглядаються.) 1) як вертикальні з рівними кутами ( і відповідно). 2) Розглянемо і . за доведеним; як вертикальні; за умовою. Отже, за стороною й двома прилеглими до неї кутами.
Задача на рівнобедрений трикутник
Задача. На рисунку ; . Довести, що — рівнобедрений. Доведення: 1) як суміжні з рівними між собою кутами і . 2) Розглянемо : , значить, за ознакою рівнобедреного трикутника. 3) Розглянемо і : AD = CF за умовою; за доведеним; за доведеним. Значить, за першою ознакою рівності трикутників (за двома сторонами та кутом між ними). 4) як відповідні елементи рівних трикутників. Отже, — рівнобедрений трикутник за означенням.
Задача на паралельність прямих
Задача. На рисунку ; . Знайти: . Розв’язання 1) , значить, за ознакою паралельних прямих, оскільки і є зовнішніми різносторонніми при прямих a, b і січній c. 2) і є внутрішніми односторонніми при і січній c. Значить, за властивістю паралельних прямих. Отже, .
Задача на суму кутів трикутника
Задача. Один із кутів трикутника дорівнює . Висота та бісектриса, проведені з вершини цього кута, утворюють кут . Знайдіть невідомі кути трикутника. Розв’язання. Нехай у ; BN — висота ( ); BL — бісектриса ; (див. рисунок). Знайти: , . 1) BL — бісектриса за умовою. Значить, . 2) за аксіомою вимірювання кутів. 3) Розглянемо : за умовою; за доведеним; за властивістю гострих кутів прямокутного трикутника. 4) Розглянемо : за умовою; за доведеним; за теоремою про суму кутів трикутника. Відповідь: ; .
Задача на коло
Задача. На рисунку пряма a дотикається до кола в точці B. Знайти , якщо . Розв’язання 1) OB — радіус, проведений у точку дотику. Значить, за означенням дотичної: . 2) за аксіомою вимірювання кутів. 3) Розглянемо : рівнобедрений, бо як радіуси одного кола; це означає, що як кути при основі рівнобедреного трикутника. 4) за теоремою про суму кутів трикутника. Відповідь: .
Додаткова побудова
У багатьох задачах для успішного розв’язання треба увести деякий елемент, якого не було в умові,— зробити додаткову побудову. Задача 1. На рисунку ; . Довести, що . Доведення: 1) Додаткова побудова: DF. 2) Розглянемо і : DM = = DE за умовою; MF = EF за умовою; DF — спільна. Значить, за трьома сторонами. 3) як відповідні елементи в рівних трикутниках. Дуже корисною є додаткова побудова в багатьох задачах, пов’язаних із поняттям медіани трикутника. Задача 2. Доведіть, що трикутник рівнобедрений, якщо у нього бісектриса є медіаною. Доведення: Нехай у BD — бісектриса ; BD — медіана (див. рисунок). Довести, що . 1) Додаткова побудова: продовжимо медіану BD на відрізок такої ж довжини — DF і з’єднаємо точку F з точкою C. (Зверніть увагу: це стандартна додат кова побудова у задачах на медіану.) 2) Розглянемо і : за умовою; як вертикальні; за побудовою; Значить, за першою ознакою. 3) ; як відповідні елементи в рівних трикутниках. 4) Розглянемо : за умовою (BD — бісектриса); , значить, за ознакою рівнобедреного трикутника. 5) CF = AB; CF = BC, значить, , що й треба було довести. Задача 3. Висота і медіана, які проведені з однієї вершини трикутника, поділяють його кут на три рівні частини. Знайдіть кути трикутника. Розв’язання Нехай у (див. рисунок) ; . . Знайти ; ; . 1) Додаткова побудова: . 2) Розглянемо і AOD: AD — спільна; за умовою; за умовою. Значить, за другою ознакою. як відповідні елементи в рівних трикутниках. 3) Розглянемо і AOM: АО — спільна. за умовою; за умовою. Значить, за теоремою про суму кутів трикутника. за другою ознакою. Значить, як відповідні елементи в рівних трикутниках. 4) Враховуючи, що АО — медіана ABC, отримуємо . 5) Розглянемо прямокутний : , значить, . 6) — прямокутний ; , значить, . 7) ; .
Геометрія. 8 клас
Чотирикутники
Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, що послідовно їх сполучають. При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій, а відрізки, які їх сполучають, не повинні перетинатися. Дані точки називаються вершинами чотирикутника, а відрізки, що їх сполучають,— сторонами чотирикутника. Вершини чотирикутника називаються сусідніми, якщо вони є кінцями однієї з його сторін. Несусідні вершини називаються протилежними. Відрізки, що сполучають протилежні вершини чотирикутника, називаються діагоналями. Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини, називаються сусідніми сторонами. Сторони, які не мають спільного кінця, називаються протилежними сторонами. Периметр чотирикутника — сума довжин усіх його сторін. Чотирикутник називається опуклим, якщо він лежить в одній півплощині відносно будь-якої прямої, що містить його сторону. На рисунку нижче зліва ABCD — опуклий чотирикутник; AC, BD — його діагоналі. На рисунку справа KMNP — неопуклий чотирикутник; KN, MP — його діагоналі. Сума кутів чотирикутника дорівнює .
Паралелограм
Паралелограм — це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні. На рисунку ABCD — паралелограм. ; .
Властивості паралелограма
Теорема 1. У паралелограма протилежні сторони рівні: , (дивись вищенаведений рисунок). У паралелограма протилежні кути рівні: , . Теорема 2. У паралелограмі кути, прилеглі до однієї сторони, в сумі дорівнюють : ; ; ; . Теорема 3. Діагоналі паралелограма перетинаються й у точці перетину діляться навпіл. ; . Теорема 4. Діагональ паралелограма поділяє його на два рівні трикутники. На рисунку нижче зліва . На рисунку справа . Теорема 5. Діагоналі паралелограма розбивають його на дві пари рівних трикутників. На рисунку ; .
Ознаки паралелограма
Теорема 1. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються й у точці перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник — паралелограм. Теорема 2. Якщо в чотирикутнику дві сторони паралельні й рівні, то цей чотирикутник — паралелограм. Теорема 3. Якщо в чотирикутнику протилежні сторони рівні, то цей чотирикутник — паралелограм. Теорема 4. Якщо в чотирикутнику протилежні кути рівні, то цей чотирикутник — паралелограм. Теорема 5. Якщо в чотирикутнику кути, що є прилеглими до кожної із сторін, у сумі дорівнюють , то цей чотирикутник — паралелограм. Теорема 6. Якщо кожна діагональ поділяє чотирикутник на два рівні трикутники, то цей чотирикутник — паралелограм.
Кут між висотами паралелограма
Висота паралелограма — це відрізок, перпендикулярний до протилежних сторін паралелограма з кінцями на цих сторонах. На рисунку і — висоти паралелограмa. Найчастіше висоти опускають із вершин паралелограма. Із кожної вершини паралелограма можна провести дві висоти. Кут між ними дорівнюватиме куту паралелограма при сусідній вершині. На рисунку внизу зліва зображений кут між висотами паралелограма, опущеними з тупого кута, на рисунку справа — між висотами, опущеними з гострого кута:
Властивості бісектрис кутів паралелограма
1. Бісектриси сусідніх кутів паралелограма перпендикулярні. 2. Бісектриси протилежних кутів паралелограма паралельні або збігаються (якщо паралелограм — ромб). 3. Бісектриса кута паралелограма відокремлює від нього рівнобедрений трикутник. На рисунку ; ; ; — рівнобедрений; ; — рівнобедрений, . Чотирикутник, що утворився при перетині бісектрис кутів паралелограма,— прямокутник. Якщо через точку перетину діагоналей паралелограма проведено пряму, то відрізок цієї прямої, який розташований між паралельними сторонами, ділиться в цій точці навпіл:
Прямокутник
Прямокутник — це паралелограм, у якого всі кути прямі.
Властивості прямокутника
Оскільки прямокутник є паралелограмом, він має всі властивості паралелограма і ще деякі інші. Теорема. Діагоналі прямокутника рівні. На рисунку . . ; — рівнобедрені.
Ознаки прямокутника
Теорема 1. Якщо в чотирикутнику всі кути рівні, то він є прямокутником. Теорема 2. Якщо в чотирикутнику є три прямі кути, то він є прямокутником. Теорема 3. Якщо в паралелограмі є прямий кут, то паралелограм є прямокутником. Теорема 4. Якщо в паралелограмі діагоналі рівні, то він є прямокутником.
Ромб
Ромб — це паралелограм, у якого всі сторони рівні.
Властивості ромба
Оскільки ромб є паралелограмом, він має всі властивості паралелограма і деякі інші. Теорема 1. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів. На рисунку ABCD — ромб; ; ; ; ; . Теорема 2. Діагоналі ромба розбивають його на чотири рівні прямокутні трикутники. Теорема 3. Висоти ромба рівні:
Ознаки ромба
Теорема 1. Якщо в чотирикутнику всі сторони рівні, то він є ромбом. Теорема 2. Якщо в паралелограмі сусідні сторони рівні, то він є ромбом. Теорема 3. Якщо в паралелограмі діагоналі перпендикулярні, то він є ромбом. Теорема 4. Якщо в паралелограмі діагональ є бісектрисою кута, то паралелограм є ромбом.
Квадрат
Квадрат — це прямокутник, у якого всі сторони рівні.
Властивості квадрата
Оскільки квадрат є паралелограмом, прямокутником і ромбом водночас, маємо: 1) у квадрата всі сторони рівні; 2) у квадрата всі кути рівні; 3) діагоналі квадрата рівні, перетинаються під прямим кутом, діляться в точці перетину навпіл, є бісектрисами його кутів; 4) діагоналі квадрата ділять його на чотири рівні рівнобедрені прямокутні трикутники. На рисунку ABCD — квадрат. AB = = BC = ; ; ; .
Ознаки квадрата
Теорема 1. Якщо в чотирикутника всі сторони і всі кути рівні, то він є квадратом. Теорема 2. Якщо діагоналі прямокутника перетинаються під прямим кутом, то він є квадратом. Теорема 3. Якщо діагоналі ромба рівні, то він є квадратом.
Трапеція
Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні. Ці сторони називаються основами трапеції, а дві інші — бічними сторонами. Трапеція, в якої бічні сторони рівні, називається рівнобічною (див. рисунок нижче зліва). Якщо одна з бічних сторін трапеції перпендикулярна до основ, трапеція називається прямокутною (рисунок нижче справа). Теорема 1. Кути трапеції, які прилеглі до однієї бічної сторони, у сумі дорівнюють . Відрізок, що сполучає середини бічних сторін трапеції, називається середньою лінією трапеції. Теорема 2. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі. Зверніть увагу: середня лінія не проходить через точку перетину діагоналей трапеції (рисунок посередині). Висотою трапеції називається відрізок прямої, перпендикулярної до основ трапеції з кінцями на основах трапеції. Найчастіше висоту проводять через вершини верхньої основи або через точку перетину діагоналей (рисунок 1). Усі висоти трапеції рівні між собою. Бісектриса кута трапеції, якщо вона перетинає основу трапеції, відтинає від неї рівнобедрений трикутник (рисунок 2). Рис. 1 Рис. 2
Властивості рівнобічної трапеції
1. У рівнобічній трапеції кути при основах рівні (рисунок нижче зліва). 2. У рівнобічній трапеції діагоналі рівні. 3. У рівнобічній трапеції діагоналі створюють з основою рівні кути. 4. У рівнобічній трапеції діагоналі, перетинаючись, утворюють два рівнобедрені трикутники, основами яких є основи трапеції (рисунок справа).
Додаткові побудови, що використовуються для розв’язуваннязадач на трапецію
1) На рисунку ; ; BCMN — прямокутник. Зверніть увагу: якщо (див. рисунок), то : 2) На рисунку ; ABCF — паралелограм. ; ; . 3) На рисунку ; BCKD — паралелограм. . Сторони : ; . Висота CF збігається з висотою трапеції. Якщо трапеція ABCD рівнобічна, то — рівнобедрений.
Теорема Фалеса
Теорема 1 (Фалеса). Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на другій його стороні. На рисунку ; ; . Зверніть увагу: . Теорема має місце не тільки для сторін кута, а й для довільних прямих. Теорема 2 (про пропорційні відрізки). Паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають від сторін кута пропорційні відрізки. На рисунку . Також правильним є: ; ; і т. д.
Трикутники
Середня лінія трикутника
Середньою лінією трикутника називається відрізок, який сполучає середини двох його сторін. Теорема 1. Середня лінія трикутника, яка сполучає середини двох його сторін, паралельна третій стороні й дорівнює її половині. На рисунку праворуч: ; . У трикутнику можна провести три середні лінії. Вони утворюють трикутник з такими ж кутами, як даний, і вдвічі меншими сторонами. На рисунку нижче ABC — трикутник; MN, NK, MK — його середні лінії. Чотирикутники AMNK, BNKM, MNCK — паралелограми. Теорема 2. Середня лінія трикутника ділить навпіл висоту, бісектрису, медіану трикутника, що проведені до паралельної їй сторони: Спираючись на властивість середньої лінії, легко довести, що: 1) середини сторін чотирикутника є вершинами паралелограма (рисунок 1); 2) середини сторін прямокутника є вершинами ромба (рисунок 2); 3) середини сторін ромба є вершинами прямокутника (рисунок 3); Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 4) середини сторін квадрата є вершинами квадрата (рисунок нижче зліва); 5) медіани довільного трикутника перетинаються в одній точці й діляться нею у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини ( і т. д.) (рисунок справа).
- Основні властивості (аксіоми) належності точок і прямих на площині
- Висота, бісектриса, медіана трикутника
- Дотична до кола
- Геометричне місце точок
- Пряма й обернена теореми
- Доведеннявід супротивного
- Приклади розв’язування типових задач з геометрії для 7 класу
- Теорема Піфагора
- Симетрія відносно прямої
- Множення вектора на число
- Скалярний добуток векторів
- Подібність прямокутних трикутників
- Пропорційність відрізків хорд і січних кола
- Вписані й описані чотирикутники
- Теорема синусів
- Розв’язування трикутників
- Многокутники
- Правильні многокутники
- Паралельність прямих і площини
- Ознака паралельності площин
- Перпендикулярність прямих і площин
- Перпендикуляр і похила
- Відстань між мимобіжними прямими
- Кут між мимобіжними прямими
- Декартові координати та вектори в просторі
- Перетворення в просторі
- Подібність просторових фігур
- Вектори в просторі
- Тригранний і многогранний кути
- Паралелепіпед
- Правильні многогранники
- Описані кулі