Билет №6 Математические предложения. Отрицание высказывании и высказывательных форм Математические предложения

Изучая реальные процессы, математика описывает их, используя как словесный язык, так и свой символический. Описание строится при помощи предложений. Но чтобы математические знания были достоверными, эти предложения должны быть истинными.

В логике считают, что из двух данных предложений можно образовать новые предложения, используя союзы «и», «или», «если что».

Высказыванием в математике называют предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно.

Каждое высказывание либо ложно, либо истинно, быть одновременно тем и тем оно не может.

Пример:

X+5=8 не является высказыванием, так как о нем нельзя сказать: истинно оно или ложно. Однако при подстановке конкретных значений x оно обращается в высказывание: истинное или ложное. Если x=2 то 2+5=8-ложное высказывание, а при x=3 оно обращается в истинное высказывание 3+5=8.

Предложение x+5=8 называется высказывательной формой. Оно порождает множество высказываний одной и той же формы.

Одноместной высказывательной формой, заданной множестве X, называется предложение с переменной, которое обращается в высказывание при подстановке в него значений переменной из множества X.

Отрицанием высказывания А называется высказывание А, которое ложно, если высказывание А истинно, и истинно, если высказывание А-ложное.

Например: отрицание ложного высказывания число 28 делится на 9:

А) число 28 не делится на 9

Б) наверное ,что число 28 делится на 9.

Высказывания, которое мы получили, истинные. Значит, отрицание данного предложения построено правильно.

Можно доказать, что отрицанием конъюнкции двух высказываний А и В является дизъюнкция их отрицаний.

Для этого надо убедится в том, что значения истинности высказываний вида А^В и АvВ совпадают при любых значениях истинности высказываний А и В. Сделать это можно через таблицу истинности

При высказывания вида А^В и АvВ говорят, что они равносильны, и пишутся А^В / АvВ.

Эти равносильности носят название законов де Моргана.

Правило построения отрицания конъюнкции и дизъюнкции: чтобы построить отрицание конъюнкции (дизъюнкции), достаточно заменить отрицаниями составляющие ее высказывания, а союз «И» («ИЛИ») заменить союзом » («ИЛИ») «И»