§8. Принцип двойственности

Отношение взаимной принадлежности точек, прямых и плоскостей в трехмерном пространстве обычно выражается словами: «точка принадлежит прямой», «прямая проходит через точку», «прямая принадлежит плоскости», «плоскость содержит прямую». Введем термин «инцидентность», обозначающий взаимную принадлежность. Будем говорить: «точка инцидентна прямой», «прямая инцидентна точке», «прямая инцидентна плоскости».

Принцип двойственности для проективной плоскости. Если верно некоторое утверждение «А» для точек и прямых, выраженное в терминах инцидентности, то верно также двойственное утверждение «А*», в котором слово «точка» заменено словом «прямая», а слово «прямая» – словом «точка».

Например: Через две различные точки на проективной плоскости проходит единственная прямая.

Двойственное утверждение: Две различные прямые на проективной плоскости имеют единственную общую точку.

Принцип двойственности для проективного пространства. Если верно некоторое утверждение «В» для точек, прямых и плоскостей, выраженное в терминах инцидентности, то верно также двойственное утверждение «В*», в котором слово «точка» заменено словом «плоскость», слово «прямая» остается без изменения, а слово «плоскость» заменяется на слово «точка».

Например: Две различные плоскости в трехмерном проективном пространстве имеют единственную общую прямую.

Двойственное утверждение: Через две различные точки на проективной плоскости проходит единственная прямая.

«Не слишком ли я прямолинеен?» –

подумал червяк и свернулся клубочком.

Из жизни животных.