40. Обернене перетворення Лапласа. Формула Рімана-Меліна
Теорема (Рімана - Мелліна)
Нехай є функція , кусково – неперервна, з показником росту , і
абсолютно збігається вздовж прямої . Тоді
Доведення
Функція при абсолютно інтегрована на , оскільки
.
Виконані умови представлення її у вигляді інтеграла Фур’є
Позначимо міняється вздовж прямої від до :
Доведено.
- формула обернення Рімана – Мелліна.
Теорема розкладу Якщо є зображенням деякого оригіналу, і рівномірно відносно при , то , де - особливі точки функції .
Доведення
Розглянемо контур
За лемою Жордана другиінтеграл прямує до нуля при .
З іншого боку,
де - особливі точки, що потрапили всередину контура . При туди потрапляють всі особливі точки , бо справа від прямої функція аналітична, особливих точок не має.
- 11. Ряд Лорана аналіт.Функції, його єдинственність для анал.Функц.
- 12. Теорема Лорана про розвинення анал.Функції в ряд Лорана
- 13. Ізольовані особливі точки. Класифікація.
- 14. Теорема про правильну точку аналітичної функції.
- 15. Полюси. Необхідна і достатня умова полюса к-го порядку.
- 16. Зв’язок характеру особливої ізольованої точки з виглядом розкладу в ряд Лорана в околі цієї точки
- 17. Характер нескінченно віддаленої особливої точки
- 18. Лишки. Їх зв’язок з інтегралом по замкненій кривій
- 19. Обчислення лишків
- 20. Лишки в нескінченно віддаленій точці
- 21. Застосування лишків для обчислення визначених інтегралів
- 22. Застосування лишків до невласних інтегралів
- 23. Застосування лишків до невласних інтегралів
- 24. Тригонометричні ряди Фур’є
- 25. Абстрактні ряди Фур’є
- 26. Нерівність Коші-Буняковського та теорема Піфагора.
- 27. Основні властивості коефіцієнтів Фур’є. Нерівність Бесселя
- Нерівність Бесселя
- 28. Поточкова збіжність тригонометричних рядів Фур'є
- 29. Лема Рімана та наслідок з неї.
- 30. Достатня умова збіжності ряду Фур’є в точці.
- 31. Теорема Фейєра та наслідки з неї.
- 32. Зв’язок швидкості спадання коефіцієнтів ряду Фур’є з гладкістю функції
- 33. Теорема про повноту тригонометричної системи
- 34. Перетворення Фур’є, існування, властивості.
- 35. Достатні умови представлення функції в інтеграл Фур’є
- 36. Перетворення Лапласа. Аналітичність перетворення Лапласа.
- 37. Властивоcті перетворень Лапласа
- 38. Диференціювання та інтегрування оригінала та зображення
- 39. Згортка функції. Зображення згортки.
- 40. Обернене перетворення Лапласа. Формула Рімана-Меліна
- 41. Лема Жордана. Формула обернення.