Тема 1. Сравнительное изложение аффинной и евклидовой геометрий

Список необходимых сведений: определения аффинных преобразований и движений аффинного и евклидова пространства. Их свойства.

Практические задания

1. На плоскости относительно прямоугольной системы координат дано каноническое уравнение эллипса с параметрами a , b. Перевести аффинным преобразованием данный эллипс в единичную окружность с центром в начале координат.

Решение.

Каноническое уравнение эллипса .

Перепишем его в виде .

Рассмотрим аффинное преобразование .

Оно переводит эллипс в единичную окружность с уравнением .

Штрихи над координатами x и y показывают, что единичная окружность является образом. После того как уравнение образа получено, то штрихи можно не писать.

2. На плоскости относительно прямоугольной системы координат даны две единичные окружности: с центром в начале координат и с центром в точке . Перевести одну окружность в другую аффинным преобразованием.

Решение.

Рассмотрим две единичные окружности

и .

Рассмотрим движение . Оно является параллельным переносом на вектор с координатами и переводит первую окружность во вторую.

3. Можно ли перевести любой эллипс в любой эллипс движением плоскости и почему?

Решение.

Из задач 1, 2 вытекает, что аффинным преобразованием можно перевести любой эллипс в любой эллипс. Для этого надо перевести оба эллипса в единичные окружности с теми же центрами, а затем перевести окружности друг в друга. Однако в случае произвольных канонических параметров эллипсов этого нельзя добиться движением, так как параметры отвечают за размеры эллипсов.

4. Можно ли перевести эллипс в гиперболу (или любую другую кривую 2 порядка) аффинным преобразованием и почему?

Решение.

Невозможно перевести аффинным преобразованием эллипс в гиперболу, так как эти фигуры имеют различные инвариантные свойства. В частности, эллипс является ограниченной фигурой, а гипербола – неограниченной. Эллипс не имеет асимптот, а гипербола имеет.

Аналогичные задачи надо уметь решать для всех кривых 2 порядка на плоскости.

Сделать следующие выводы.

Любой эллипс можно перевести в любой эллипс аффинным преобразованием.

Два эллипса можно перевести друг в друга движением плоскости только если они имеют одинаковые канонические параметры.

Сделать аналогичные выводы для других кривых 2 порядка на плоскости.

Составить список инвариантных (относительно аффинных преобразований) свойств и показать, что кривые из разных канонических классов имеют разные инвариантные свойства. Следовательно, не могут быть переведены друг в друга аффинным преобразованием.