Тема №7 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (оду).
К решению дифференциальных уравнений приводит большое число научно-исследовательских задач и задач инженерной практики, но лишь не многие из них удается решить аналитически, поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений играют такую важную роль в инженерной практике.
Дифференциальные уравнения, содержащие одну независимую переменную и производные по ней, называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Для решения дифференциального уравнения необходимо задание дополнительных условий, если дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такие условия называются начальными, а задача решения уравнения называется задачей с начальными условиями или задача Коши.
Если условия задаются при двух или более значениях переменной, то такие условия называются граничными, а задачу называют краевой.
В задаче Коши роль независимой переменной играет величина (время), а дополнительное условие для начального момента времени (). В краевых задачах в качестве независимой переменной выступает координата отрезка, а граничные условия задаются в начале и конце отрезка.
Для решения задачи Коши и краевой принимают различные численные методы. Часто краевую задачу решают путем сведения её к задаче Коши. Отсюда следует, что обычно задачи Коши являются более легкими для численного решения.
При численном решении вводится шаг по координате, и решение находится в точках отстоящих друг от друга на величину шага. Для решения задачи Коши разработано множество методов, которые можно разделить на 2 группы:
1 группа – одношаговые методы.
В них для нахождения решения в следующей точке (удаленной на расстояние h) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге.
2 группа – многошаговые методы.
Методы прогноза и коррекции.
В них для нахождения значения в следующей точке требуется информация из нескольких предыдущих точек.
При численном решении дифференциальных уравнений можно выделить 3 типа погрешности:
-
погрешность округления;
-
погрешность усечения, связана с аппроксимацией бесконечных рядов несколькими первыми членами, обусловлена численным методом;
-
погрешность распространения, она является результатом накопления погрешностей появившихся на предыдущих этапах счета.
Метод 28
- Новочеркасск 2008 Содержание
- Тема №1 Модели и моделирование.
- Погрешности численных методов.
- Тема №2 Аппроксимация функций.
- Интерполяционная формула Лагранжа.
- Сплайны
- Сплайны третьей степени
- Метод наименьших квадратов
- Тема №3 Решение нелинейных уравнений.
- Метод половинного деления.
- Метод простых итераций.
- Метод Хорд
- Метод Ньютона (касательных).
- Тема №4 Решение систем линейных уравнений.
- 1) Прямые
- 2) Итерационные
- Метод Гаусса.
- Метод прогонки.
- Уточнение решения (итерационный метод).
- Метод Гаусса-Зейделя.
- Тема №5 Решение систем не линейных уравнений.
- Простой Итерации
- Метод Ньютона для систем уравнений.
- Метод возмущения параметров.
- Тема №6 Численное интегрирование.
- Метод прямоугольников.
- Метод трапеции
- Метод Симпсона.
- Метод Гаусса.
- Метод Монте-Карло.
- Метод Монте-Карло для вычисления кратных интегралов.
- Тема №7 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (оду).
- Метод Эйлера.
- Модифицированный метод Эйлера.
- Метод Рунге – Кутта.
- Метод Рунге-Кутта для решения систем оду
- Метод Рунге-Кутта для оду высших порядков.
- Метод стрельбы.
- Метод конечных разностей (мкр) (метод сеток).
- Тема №8 Решение дифференциальных уравнений с частными производными.
- Уравнение теплопроводности.
- Явная разностная схема для уравнения теплопроводности.
- Неявная разностная схема для уравнения теплопроводности.
- Тема №9 Задачи оптимизации.
- Метод половинного деления.
- Метод золотого сечения.
- Метод покоординатного подъёма (спуска).
- Метод градиентного подъёма (спуска).
- Метод наискорейшего подъёма.
- Тема №10 Задания для самостоятельной проработки. Транспортная задача.
- Задача о ресурсах.
- Волновое уравнение.
- Уравнение Лапласа.