Метод Гаусса.
Метод Гаусса основан на приведении матрицы системы к треугольному виду. Метод Гаусса состоит из двух этапов: прямой ход и обратный. Прямой ход – матрица приводится к треугольному виду, при обратном последовательно находятся неизвестные величины.
Прямой ход состоит в следующем:
-
на первом шаге с помощью первого уравнения исключается из всех последних уравнений системы, в результате получается новая система, имеющая то же решение, но в первом столбце матрицы будет не нулевым только первый элемент.
-
на втором шаге с помощью второго уравнения исключается из всех уравнений. Этот процесс продолжается до тех пор, пока в левой части последнего - го уравнения не останется лишь один член с неизвестным .
Рассмотрим процесс исключения подробнее:
На -ом шаге исключается
Запишем -ое уравнение:
Исключим с помощью этого уравнения из уравнения с номером
Для исключения из -го уравнения вычитаем -ое , умноженное на .
После такого вычитания первые слагаемые сокращаются. Запишем значение коэффициенты перед , используем для него прежнее обозначение
При этом изменяется свободный член
По завершению прямого хода получается система с треугольной матрицей. Далее производится обратный ход метода Гаусса.
Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении искомых неизвестных, начиная с . Сначала находится . Далее, используя это значение, находится и так далее.
Например:
На - ом шаге обратного хода неизвестные находятся с помощью выражения.
В процессе исключения неизвестных приходится делить на диагональный элемент, который может оказаться равным нулю. Чтобы исключить эту ситуацию, необходимо на каждом шаге прямого хода менять расположение уравнений таким образом, чтобы диагональный элемент не был равным нулю, а лучше, чтобы он имел максимально возможное значение.
Перестановка уравнений должна быть предусмотрена в вычислительном алгоритме и метод Гаусса, в котором производится перестановка уравнений таким образом, чтобы диагональный элемент имел максимальное значение, называется метод Гаусса с выбором главного элемента.
В методе Гаусса объём вычислений пропорционален . Существует практически значимые случаи, когда объём вычислений при решении СЛАУ можно резко сократить.
Метод 15
- Новочеркасск 2008 Содержание
- Тема №1 Модели и моделирование.
- Погрешности численных методов.
- Тема №2 Аппроксимация функций.
- Интерполяционная формула Лагранжа.
- Сплайны
- Сплайны третьей степени
- Метод наименьших квадратов
- Тема №3 Решение нелинейных уравнений.
- Метод половинного деления.
- Метод простых итераций.
- Метод Хорд
- Метод Ньютона (касательных).
- Тема №4 Решение систем линейных уравнений.
- 1) Прямые
- 2) Итерационные
- Метод Гаусса.
- Метод прогонки.
- Уточнение решения (итерационный метод).
- Метод Гаусса-Зейделя.
- Тема №5 Решение систем не линейных уравнений.
- Простой Итерации
- Метод Ньютона для систем уравнений.
- Метод возмущения параметров.
- Тема №6 Численное интегрирование.
- Метод прямоугольников.
- Метод трапеции
- Метод Симпсона.
- Метод Гаусса.
- Метод Монте-Карло.
- Метод Монте-Карло для вычисления кратных интегралов.
- Тема №7 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (оду).
- Метод Эйлера.
- Модифицированный метод Эйлера.
- Метод Рунге – Кутта.
- Метод Рунге-Кутта для решения систем оду
- Метод Рунге-Кутта для оду высших порядков.
- Метод стрельбы.
- Метод конечных разностей (мкр) (метод сеток).
- Тема №8 Решение дифференциальных уравнений с частными производными.
- Уравнение теплопроводности.
- Явная разностная схема для уравнения теплопроводности.
- Неявная разностная схема для уравнения теплопроводности.
- Тема №9 Задачи оптимизации.
- Метод половинного деления.
- Метод золотого сечения.
- Метод покоординатного подъёма (спуска).
- Метод градиентного подъёма (спуска).
- Метод наискорейшего подъёма.
- Тема №10 Задания для самостоятельной проработки. Транспортная задача.
- Задача о ресурсах.
- Волновое уравнение.
- Уравнение Лапласа.