11.Закон великих чисел

1. Оцінити ймовірність того, що випадкова величина л відхилиться від свого математичного сподівання 1) не менше, ніж на два середніх квадратичних відхилення; 2) менше, ніж на чотири середніх квадратичних відхилення.

2. Оцінити ймовірність того, що випадкова величина Х відхилиться від свого мате­матичного сподівання 1) менше, ніж на три середніх квадратичних відхилення; 2) не менше ніж на чотири середніх квадратичних відхилення.

3. Середня вага булочки у достатньо великій партії дорівнює 75 г, а дисперсія приймається рівною 0,1 г. Визначити ймовірність того, що вага взятої навмання булочки виявиться не менше 74,5 г и не більше 75,5 г.

4. Тижнева потреба електроенергії на підприємстві є випадкова величина, математичне сподівання якої дорівнює 2000 квт/год, а дисперсія 20000. Оцінити ймовірність тою, що найближчого тижня витрата електроенергії на цьому підприємстві буде знаходитись у межах від 1500 до 2500 квт/год.

5. Ймовірність порушення герметичності банки при виробництві консервів дорівнює 0,3. На перевірку надійшло 600 банок консервів. Оцінити ймовірність того, що число банок з порушенням герметичності буде : 1) менше 40, 2) не меніле,40.

6. Міні-пекарня складається з 10 незалежних працюючих агрегатів. Ймовірність відмо­ви кожного агрегату за час Т дорівнює 0.05. Оцінити ймовірність того, що абсолютна величина різниці між числом агрегатів, які відмовили за час Т та середнім числом математичним сподіванням) відмов за час Т виявиться: 1) менше двох; 2) не менше двох.

7. Дисперсія кожної з 2500 незалежних випадкових величин не перевищує 5. Оцінити ймовірність того, що відхилення середнього арифметичного цих випадкових величин від середнього арифметичного їх математичних сподівань не перевищить за абсо­лютною величиною числа =0,4.

8. Дисперсія кожної з 1800 незалежних випадкових величин не перевищує 1. З якою ймовірністю можна стверджувати, що відхилення середнього арифметичного цих величин від середнього арифметичного їх математичних сподівань за абсолютною величиною менше, ніж 0,05.

9. Для визначення середньої урожайності в агрофірмі на площі 10000 га взято на вибір по одному квадратному метру з кожного гектара і визначено середню урожайність. Оцінити ймовірність того, що середня урожайність, одержана у виборці, відхилиться від загальної середньої урожайності всієї площі менше, ніж на 0,1 ц, якщо вважати, що дисперсія урожайності не перевищує 30.

10. Для визначення середньої ваги кондитерського вибору в партії, розміщеній у 80 ящиках, було взято по одному вибору з кожного ящика. Дисперсія по кожному ящику не перевищує 4. З якою ймовірністю можна стверджувати, що відхилення середньої ваги вибраних 80 виробів від середньої ваги всіх виробів у партії за абсолютною величиною буде менше, ніж 0,5?

11. Середня зміна курсу акції компанії на протязі одних біржових торгів складає 0,3%. Оцінити ймовірність того, що на найближчих торгах курс зміниться більше, ніж на 3%.

12. Відділення банку обслуговує в середньому 100 клієнтів у день. Оцінити ймовірність того, що сьогодні в відділенні банку будуть обслужені: а) не більше 200 клієнтів; б) більше 150 клієнтів.

13. Електростанція обслуговує мережу на 1600 електроламп, ймовірність підключення кожної з яких ввечері дорівнює 0,9. Оцінити за допомогою нерівності Чебишова ймовірність того, що кількість ламп, ввімкнених у мережу ввечері, відмінна від свого математичного сподівання не більше ніж на 100 (за абсолютною величиною). Знайти ймовірність цієї ж події, використавши наслідок з інтегральної теореми Мавра-Лапласа.

14. Ймовірність того, що акції передані на депозит будуть реалізовані, дорівнює 0,08. Оцінити за допомогою нерівності Чебишева ймовірності того, що серед 1000 клієнтів від 70 до 90 реалізують свої акції.

15. Середнє значення довжини деталей 50 см., а дисперсія – 0,1. Використавши нерівність Чебишова, оцінити ймовірність того, що випадкова взята деталь буде за довжиною буде не менше 49, 5 і не більше 50,5 см. ймовірність цієї ж події, якщо відомо, що довжина випадково взятої деталі має нормальний закон розподілу.

16. Протягом часу t експлуатується 500 приладів. Кожен прилад має надійність 0, 98 і виходить із строю незалежно від інших. Оцінити за допомогою нерівності Чебишова ймовірність того, що частка надійних приладів відрізняється від 0,98 не більше ніж на 0,1 (за абсолютною величиною).

17. Ймовірність складання в зазначений термін всіх екзаменів студентом факультету дорівнює 0, 7. За допомогою нерівності Чебишова оцінити ймовірність того, що частка склавши в зазначений термін всі екзамени з 2000 студентів міститься в межах від 0,66 до 0,74.

18. Бензоколонка N заправляє легкові і вантажні автомобілі. Ймовірність того, що легкові автомобілі що проїздить біля заправки, під’їде до неї дорівнює 0,3. За допомогою нерівності Чебишова знайти межи, в яких з імовірністю, не менше 0,79, знаходиться частка легкових автомобілів, що заправились бензином протягом 2 годин, якщо за цей час заправилось 100 автомобілів.

19. В середньому 10% працездатного населення деякого регіону – безробітні. Оцінити за допомогою нерівності Чебишова ймовірність того, що рівень безробіття серед обслідуваних 10000 працездатних жителів міста буде в межах від 9 до 11% (включно).

20. Вихід курчат в інкубаторі складає в середньому 70% числа закладених яєць, щоб з ймовірністю, не менше 0,95, чекати, що відхилення числа курчат, що вилупилися від математичного сподівання їх не перебільшувало 50 ( за абсолютною величиною)?

Розв’язати задачу за допомогою: а) нерівності Чебишова; б) інтегральною теоремою Муавра - Лапласа.

21. Досвід роботи страхової компанії показує, що страховий випадок приходиться приблизно на кожен п’ятий договір. Оцінити за допомогою нерівності Чебишова необхідну кількість договорів, які необхідно завершити, щоб частка страхових випадків відхилиться від 0,1 не більше ніж на 0,01 (за абсолютною величиною). Уточнити відповідь за допомогою наслідку з інтегральної теореми Муавра-Лапласа.

22. З метою контролю з партії в 100 ящиків взяли по одній деталі з кожного ящика і поміряли їх довжину. Необхідно оцінити ймовірність того, щоб обчислена за даними вибірки середня довжина деталі відрізняється від середньої довжини деталі партії не більше ніж на 0,3мм, якщо відомо, що середнє квадратичне відхилення не перебільшує 0,8мм.

23. Скільки треба провести вимірів, щоб з ймовірністю, рівною 0,9973, стверджувати, що похибка середньої арифметичної результатів цих вимірів не перебільшує 0,01, якщо вимір характеризується середнім квадратичним відхиленням, рівним 0,03?

24. Сума всіх вкладів у відділення банка складає 2 млн. грн., а імовірність того, що випадково взятий вклад не перебільшить 10 тис. грн., дорівнює 0,6. Що можна сказати про кількість вкладників?

25. Середні витрати води на тваринницький фермі складають 1000 л. на день, а середнє квадратичне відхилення цієї випадкової величини не перевищує 200 л. Оцінити ймовірність того, що витрати води на фермі в будь який вибраний день не перевищать 2000 л., використавши а)Чебишова; б) нерівність Чебишова.