25. Основные цели введения элементов комбинаторики и теории вероятностей. Общая последовательность изучение данного раздела.

Одной из приоритетных направлений совершенствования математического образования является развитие у школьников абстрактного и логического мышления, умение видеть математические закономерности в повседневной практике и использовать их на основе математического моделирование. В письме МО РФ от 23 сентября 2003 г. № 03-93ин/13-03 "О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы" образовательным учреждениям рекомендуется постепенно осваивать этот раздел математики, постепенно вводя его в курс основной школы. При этом предлагается ориентироваться на следующее содержание: решение комбинаторных задач: перебор вариантов, подсчет числа вариантов с помощью правила умножения. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Диаграммы Эйлера. Средние результатов измерений. Понятие и примеры случайных событий. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности. В старшем звене в последствии предполагается продолжить эту линию.

Включение в школьные программы элементов статистики и теории вероятностей и комбинаторики обусловлено ролью, которую играют вероятностно-статистические знания в общеобразовательной подготовке современного человека. Без минимальной вероятностно-статистической грамотности трудно адекватно воспринимать социальную, политическую, экономическую информацию и принимать на ее основе обоснованные решения. Современные физика, химия, биология, весь комплекс социально-экономических наук простроены и развиваются на вероятностно-статистической базе, и без соответствующей подготовки невозможно полноценное изучение этих дисциплин уже в средней школе.

Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой.

Современная концепция школьного математического образования ориентировано, прежде всего, на учет индивидуальности ребенка, его интересов и склонностей. Этим определяются критерии отбора содержания, разработка и внедрение новых, интерактивных методик преподавания, изменения в требованиях к математической подготовке ученика.

Одна из важнейших целей обучения школьников элементам комбинаторики состоит в целенаправленном развитии идеи о том, что в природе существуют статистические закономерности. Выполнение этой задачи нельзя сводить к изучению соответствующего математического аппарата, к деятельности учащихся в мире абстрактных моделей. Более важно помочь им правильно осознать реальную действительность, открыть для себя вероятностную природу окружающего мира, показать, что в мире случайностей можно не только хорошо ориентироваться, но и активно действовать.

Рассмотрим требования к вероятностной подготовке учащихся по ступеням обучения, в частности к введению понятия вероятности в среднюю школу.

I этап (5 - 6 классы)

Данный этап обучения охватывает два года жизни учащихся и является ключевым для их общеобразовательной подготовки. Выделение 5 - 6 классов в отдельную ступень продиктовано следующими основными причинами. Во-первых, возраст учащихся 11 - 12 лет - является важным моментом в интеллектуальном развитии личности, в становлении вероятностной интуиции и мышления. На этом этапе вероятностно-статистическое образование имеет ряд специфических черт и особенностей: появляется необходимость и возможность изучать данный материал не распределенно, а в качестве отдельной темы курса математики, значительно возрастает роль межпредметных связей с другими школьными предметами, другими темами курса. При этом на первый план выходят существенные различия между статистическими закономерностями, начинают формироваться представления об особенности прогнозов, о характерных особенностях случайных явлений и процессов. Во-вторых, на данном этапе в школе изучается единый курс математики, отличающийся от курса алгебры 7 - 9 класса.

Понятие вероятности вводится на данном этапе на эмпирическом уровне. То есть, первые интуитивные представления о вероятности связаны с понятием частоты. Будем рассматривать такие стохастические эксперименты, которые можно повторить при неизменном комплексе условий любое число раз так, чтобы исход опыта никак не повлиял на события, которые произойдут в другом. Повторим эксперимент n раз. Пусть событие A наступило m раз. Отношение P(A)=m/n называется частотой события A. Это свойство часто иллюстрируют результатами описанных в литературе опытов, связанных с бросанием монеты. Наблюдаемое событие A состоит в выпадении герба. Частота события A обладает свойством устойчивости: с ростом n она имеет тенденцию стабилизироваться вблизи числа. Это число, характеризующее возможность выпадения герба при однократном испытании является вероятностью события, понимаемое пока на интуитивном уровне.

Первые представления о статистической устойчивости возникли из наблюдений над демографическими явлениями. Устойчивость частоты массовых случайных событий является объективным свойством реального мира, который убедительно подтверждается практикой.

Частота повторения случайного события служит прообразом математического понятия вероятности. Эта взаимосвязь лежит в основе статистического определения вероятности, которое целесообразно дать учащимся на данном этапе обучения на описательном языке. Для краткости мы его формулируем так:

Определение. Вероятностью массового случайного события называют такое число P, что частота события A почти для каждой большой группы испытаний лишь незначительно отклоняется от P.

Достоинства этого определения:

а) понятие вероятности имеет корни в реальной действительности; б) является простым, естественным и доступным, хотя в ущерб формальной строгости.

Недостатками данного определения является его "расплывчатость", которая выражается словами "почти", "большая группа", "незначительно отклоняется". Поэтому определение нельзя признать математическим.

Приведем примеры задач, аналогичные которым можно рекомендовать учащимся на данном этапе.

1. Наташа купила лотерейный билет, который участвует в розыгрыше 100 призов на 50000 билетов, а Лена - билет, который участвует в розыгрыше трех призов на 70000. У кого больше шансов выиграть?

2. Какой размер обуви у большинства девочек вашего класса? Найдите средний рост девочек в вашем ряду.

3. Подбросьте кубик 30 раз. По результатам эксперимента составьте таблицу. Можно ли судить о том, из однородного ли материала сделан кубик по этим данным? Найдите частоту выпадения четного и нечетного числа очков.

4. В одном городе автомобили имеются у 5% населения, а в другом - у каждого 35 жителя. Население какого города лучше обеспечено автомобилями?

II этап (7 - 9 классы)

В 7 - 9 классах происходит постепенное усиление уровня строгости в изложении материала. Поэтому на данном этапе целесообразно ввести классическое понятие вероятности. Исторически оно возникло раньше остальных и сводилось к представлению о равновозможности: до опыта выпадения герба и решки на симметричной монете представляются равновозможными, грани правильной игральной кости одна по отношению к другой также не имеют преимуществ.

Определение. Вероятностью события A называется число P(A)=m/n, равное отношению числа всевозможных случаев m, благоприятствующих событию A, к общему числу n равновозможных случаев.

Это определение представляет собой более высокую ступень математической формализации случайного явления, чем статистическое определение. Оно свободно от расплывчатых выражений, применяемых в статистическом определении. Однако оно носит ограниченный характер, связанный с концепцией равновозможности.

Классическое определение можно рассматривать как "мостик" от эмпирических основ теории вероятностей к современной теории, которая строится на базе теоретико-множественных представлений. Действительно, с одной стороны, оно допускает наглядную частотную интерпретацию. В этом отношении заслуживает внимание методический опыт венгерского педагога Варга, который проводил с учащимися своеобразные лабораторные работы, техническим оснащением которых служили шарики для пинг-понга, окрашенные в различные цвета, разноцветные пуговицы и другие предметы. Каждый ученик кладет их в коробку или ящик стола, тщательно перемешивает и, не глядя, извлекает один или несколько предметов. Возникает возможность сравнения частоты наступления событий и его вероятности, вычисленной на основе классического определения. Подобные занятия имеют большое воспитательное значение, показывая, что в задаче, где господствует случай, имеются свои закономерности.

С другой стороны, классическое определение вероятности может служить преддверием более общего аксиоматического определения. Равновозможные случаи, которые используются в выше названном определении, по существу представляют собой элементарные события из конечного пространства элементарных событий, в котором специальным образом задана вероятность.

Соотношения между событиями (сумма, произведение) рассматривается здесь на более высоком уровне абстракции - на теоретико-множественном языке.

Примеры задач:

1. Экспериментально найдите вероятность следующих событий на кубике: а) выпадет 6 очков; б) выпадет четное число очков; в) не выпадет 2 очка; г) выпадет 2 очка.

2. Игра "Кто быстрее?". Подбрасывают два кубика. Вперед на одну клетку двигается тот участник, номер которого совпадает с суммой выпавших очков. Выигрывает тот, кто первый доберется до финиша. Какое число выпадет чаще?

3. В коробке 4 синих, 3 белых и 2 желтых фишки. Они тщательно перемешиваются, и наудачу извлекается одна из них. Найдите вероятность того, что она окажется: а) белой; б) желтой; в) не желтой.

Рассмотрим учебник “Математика 6 кл.” под редакцией Г.В.Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. На изучение темы “Комбинаторика” отводится 6 часов. В учебнике эта тема дается в 8 главе. Дается с двумя параграфами: Решение комбинаторных задач; Применение правила умножения в комбинаторике.

“Математика 7: Арифметика. Алгебра. Анализ данных”- под ред. Дорофеева Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. на изучении темы “Частота и вероятность” отводится 7 часов. В учебнике эта тема дается в 9 главе. Дается с тремя параграфами: Частота случайного события. Оценка вероятности случайного

“Математика 8: Алгебра. Функции. Анализ данных.”- под ред. Дорофеева Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. на изучении темы “Вероятность и статистика” отводится 7 часов. В учебнике эта тема дается в 6 главе. Дается с 5 параграфами: Статистические характеристики ряда: мода, медицина, среднее арифметическое, размах. Таблица частот. Вероятность равновозможных событий. Классическая формула вычисления вероятности события и условия ее применения. Геометрические вероятности.

“Математика 9: Алгебра. Функции. Анализ данных.” под ред. Дорофеева Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. на изучении темы “Статистические исследования” отводится 8 часов. В учебнике эта тема дается в 5 главе. Дается с 6 параграфами: Генеральная совокупность и выборка. Ранжирование данных. Полигон частот. Интервальный ряд. Гистограмма. Выборочная дисперсия, среднее квадратичное отклонение.

“Математика 5”- под ред. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. на изучении темы “Стохастическая линия” отводится 6 часов. В учебнике эта тема дается в 6 главе. Дается с двумя параграфами: Достоверные, невозможные и случайные события; Комьинаторные задачи.

“Математика 6” ”- под ред. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. на изучении темы “Стохастическая линия” отводится 6 часов. В учебнике эта тема дается в 6 главе. Дается с тремя параграфами: Правило умножения для комбинаторных задач; Первое знакомство с понятием “вероятность”; Первое знакомство с подсчетом вероятности события по частоте. Вероятностная шкала.

“Алгебра и начала анализа 11”- Колягин Ю.М. и др. на изучении темы “Элементы комбинаторики” отводится 13 часов. Эта тема дается в 5 главе, с 5 параграфами: Комбинаторные задачи. Правило умножения. Перестановки. Размещения. Сочетания и их свойства. Биномиальная формула Ньютона.

Наиболее последовательно эта тема рассматривается в учебниках под редакцией Г.В. Дорофеева “Математика 5”, “Математика 6” и “Математика 7” . Учебники написаны живым языком с постоянной опорой на здравый смысл и на жизненный опыт учащихся. В них предусмотрена разнообразная практическая деятельность читателя. Школьники учатся оценивать вероятность наступления несложных случайных событий сначала на качественном уровне, а количественный подсчет вероятностей происходит позднее.

В соответствии с упомянутыми учебниками вводится ряд базовых понятий теории вероятностей. Рассматриваются случайные, достовернее, невозможные, более вероятные, менее вероятные, маловероятные, равновероятные события. Новые термины связываются с известными из жизни словами- часто, редко, всегда, никогда, “это очень возможно”, “это обязательно произойдет”, “это маловероятно”, “это никогда не случится” и другими, определяющими частоту наступления случайных событий.

Курс начинается с того, что вводится базовое понятие «случайное событие». Это событие, которое при одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти. Например, купив лотерейный билет, мы можем выиграть, а можем и не выиграть, на очередных выборах партия может победить, а может и не победить, завтра на уроке математики ученика могут вызвать к доске, а могут и не вызвать.

События обозначаются заглавными латинскими буквами.

Примеры:

А: в следующем году первый снег в Москве выпадет в воскресенье.

В: свалившийся со стола бутерброд упадет на пол маслом вниз.

С: при бросании кубика вы получите шестерку.

D: при бросании кубика вы получите четное число очков.

Все перечисленные выше события А,В,С,D- случайные.

Невозможные события вводится как событие, которое в данных условиях произойти не сможет. Таковы, например, события E и F.

E: в следующем году снег в Москве вообще не выпадет

F : при бросании кубика вы получите семерку.

Если же событие при данных условиях обязательно произойдет, то его называют достоверным. Например:

G: свалившийся со стола бутерброд упадет на пол.

H: при бросании кубика вы получите число меньше 7.

Правда достоверность события G оказывается под вопросом в невесомости. Но там обычно не едят бутербродов с маслом. Невозможные и достоверные события встречаются в жизни сравнительно редко. Можно сказать, что мы живем в мире случайных событий.