9 . Основні закони неперервних випадкових величин.

1. Коробки з цукерками упаковані автоматично. Їх середня маса дорівнює 540 г. Відомо, що 5% коробок мають масу, меншу 500г. Який відсоток коробок, маса яких: а) менше 470г; б) від 500 до 550г; в) більше 550г; г) відрізняється від середньої не більше, ніж на 30г(за абсолютною величиною)?

2. Вартість деякого цінного паперу нормально розподілена. Протягом останнього року 20% робочих днів вона була нижче 88 грошових одиниць, а 75% - вище 90 грошових одиниць. Знайти: а) М(х), (х), цінного паперу від середнього (прогнозного) значення (за абсолютною величиною).

3. Вартість акції може бути змодельована за допомогою нормального закону розподілу з М(х)=15 грошових одиниць і (x)=0.2 грошових одиниць. Знайти ймовірність того, що вартість акції: а) не вище 15.3 грошових одиниць; б) не нижче 15.4 грошових одиниць; в) від 14.9 до 15.3 грошових одиниць. За допомогою правила трьох сігм знайти границі, в яких буде знаходиться текуча вартість акцій.

4. Місячний прибуток родини можна розглядати як випадкову величину, розподілену за логарифмічно-нормальним законом. Якщо, вважати, що М(х)=1000 грошових одиниць, а (х)=800 грошових одиниць, знайти долю сімей, які мають прибуток: а) не менше 1000 грошових одиниць, б) не менше 500 грошових одиниць.

5. Проведений дослід показав, що внески населення у даному банку можуть бути розподілені за логонормальним законом з параметрами а=530, ²=0.64. Знайти: а) середній розмір внеску, б) долю вкладників, розмір внеску яких складає не менше 1000 грошових одиниць.

6. Ціна поділки вимірювального приладу = 0.2. Показники приладів закруглюються до найближчого цілого числа. Вважаючи, що при вимірюванні помилка закруглення розподілена за рівномірним законом, знайти: 1) М(х), Д(х), (х), 2) ймовірність того, що помилка при закругленні: а) менша 0.04, б) більша 0.05.

7. Середній час безвідмовної роботи приладу = 80 годин. Якщо вважати, що час безвідмовної роботи приладу має показниковий закон розподілу, знайти: а) вирази щільності ймовірностей і функцій розподілів, б) ймовірність того, що на протязі 100 годин прилад не вийде зі строю.

8. Два бухгалтера їздять на роботу, у першого дорога віднімає 20 – 25 хвилин, у другого 20 – 30 хвилин. Будь який час на дорогу у цих межах рівноможливий. Знайти інтегральну і диференціальну функції, побудувати їх графіки, М(х), (х), М(У), (У).

9. Виробнику електроламп відомо, що середній час роботи електроламп складає m=600 годин, а стандартне відхилення часу роботи =40 годин. Яка ймовірність того, що термін роботи лампи х менше 700 годин.

10. Ціна поділки шкали амперметру = 0.1А. Показання округлюють до найближчої цілої поділки. Знайти ймовірність того, що при відліку буде допущено похибку, яка дорівнює 0.02А.

11. Автобус ходить з інтервалом 10 хвилин. Пасажир підходить до зупинки в деякий випадковий момент часу. Знайти ймовірність того, що цей пасажир чекатиме наступного автобуса менше 4 хвилин.

12. Поїзди даного маршруту міського трамваю йдуть з інтервалом 5 хвилин. Пасажир підходить до зупинки в деякий момент часу. Знайти ймовірність приходу пасажира не раніше, ніж через хвилину після відправлення попереднього поїзду, але не пізніше, ніж за дві хвилини до приходу наступного.

13. Тривалість безвідмовної роботи технологічної лінії має показниковий розподіл . F(x)=1-e^-0.01t (t>0). Знайти ймовірність того, що за Т=50 годин: а) лінія відмовить, б) лінія не відмовить.

14. Станок-автомат виготовляє підшипники, які вважаються придатними, якщо відхилення Х від проектного розміру за абсолютним значенням не перевищує 0.88 мм. Яке найбільш ймовірне число придатних підшипників із 100, якщо Х має нормальний розподіл.

15. Виріб вважається вищої якості, якщо відхилення його розміру від номіналу не перевищує за абсолютним значенням 4.2 мм. Відхилення розміру є випадкова величина з нормальним законом розподілу ймовірності, середнє квадратичне відхилення якого =3мм. Припускаючи відсутність системних похибок, визначити середнє число виробів вищої якості серед 6 виготовлених.

16. Автомат штампує деталі. Контролюється довжина кожної деталі. Х є випадковою величиною, яка має нормальний закон розподілу ймовірності з М(х)=45 мм. (проектна довжина). Фактична довжина виготовлених деталей коливається від 35 до 55 мм. Знайти ймовірність того, що взята навмання деталь буде мати довжину: 1) не більше 50 мм., 2) не менше 40 мм.

17. Розмір діаметра втулки, які виготовляються на заводі, вважається випадковою величиною, яка має нормальний закон розподілу ймовірностей з параметрами а=2.5, =0.01. в яких межах можна практично можна гарантувати розмір діаметра втулки, якщо за ймовірність практичної вірогідності приймається 0.9973?

18. Автобуси під’їжджають на зупинку з інтервалом 7 хвилин. Припускаючи, що час х очікування автобуса на зупинці має рівномірний закон розподілу, знайти: 1) функцію розподілу F(x), 2) щільність імовірності f(x), 3) побудувати їх графіки, 4) обчислити ймовірність того, що час очікування автобуса не перевищує 2 хвилини.

19. Хвилинна стрілка електронного годинника переміщується стрибком у кінці кожної хвилини. Знайти ймовірність того, що в цю мить годинник покаже час, який буде відрізнятися від дійсного не більше як на 10 с.

20. Час ремонту телевізорів випадкова величина х, розподілена за показниковим законом. Визначити ймовірність того, що на ремонт телевізора необхідно не менше 20 днів, якщо середній час ремонту телевізорів складає 15 днів. Знайти щільність ймовірності, функцію розподілу і середнє квадратичне відхилення випадкової величини х.

21. Потяги метрополітену їдуть регулярно з інтервалом 2 хвилини. Пасажир виходить на платформу у випадковий момент часу. Яка ймовірність того, що чекати пасажиру прийдеться не більше півхвилини. Знайти М(х), (х) випадкової величини х – часу очікування потяга.

22. Якщо вважати, що зріст чоловіка певної вікової групи є нормально розподілена випадкова величина х з параметрами а=173 і ²=36, знайти: 1) F(x) і f(x), 2) долі костюмів 4 росту (176-182 см) і 3 росту (170-176 см), які необхідно передбачити у загальному об’ємі виробництва для даної вікової групи.

23. Випадкова величина х – маса одного зерна – розподілена нормально. М(х)=0.18 г, (х)=0.05 г. Гарні сходи дають зерна, маса яких більше 0.15 г. Знайти а) відсоток насіння, що дають гарні сходи, б) величину, яку з імовірністю 0.95 не перевищить маса відібраного зерна.

24. Норма висіву на 1 га дорівнює 150 кг. Фактична розтрата на 1 га коливається біля цього значення. Випадкові відхилення характеризуються (х)=10 кг. Якщо вважати, що норма висіву – випадкова величина х з нормальним розподілом. Знайдіть: 1) ймовірність події, що витрата насіння на 100 га не перевищують 15.1 т, 2) масу насіння, яка забезпечує посів площі у 100 га з імовірністю 0.95.

25. Методом спроб встановлено, що втрати зерна ріпи збиранні врожаю у середньому складають 3 г на 1 м² , середнє квадратичне відхилення дорівнює 1 г. Знайти: 1) ймовірність події, на 1 га втрати складають не менше ніж 29.8 кг., 2) величину, яку з ймовірністю 0.99 не перевищать втрати на 1 га. Вважають, що х(втрати зерна) є нормально розподілена випадкова величина.

26. Середня маса плодів у одному ящику дорівнює 10 кг, а середнє квадратичне відхилення у масі плодів одного ящика 1.5 кг. Знайти: 1) ймовірність події, у 100 ящиках маса плодів буде не менше 970 кг, 2) найбільше значення, яке з імовірністю 0.95 не перевищить маса 100 ящиків. Взяти до уваги, що маса плодів у одному ящику – нормально розподілена випадкова величина.

27. Проводиться зважування деякої харчової продукції без систематичних похибок. Випадкові похибки зважування підпорядковані нормальному закону з середнім квадратичним відхиленням . Знайти ймовірність того, що зважування буде проведено з похибкою, яка за абсолютною величиною не перевищує .