23. Формирование понятия производной.

Применение производной к исследованию функций.

Понятие производной функции является одним из важнейших понятий курса математического анализа, т.к. это понятие является основным в дифференциальном исчислении и служит исходной базой при построении интегрального исчисления. Учащиеся знакомятся с этим понятием в курсе «Алгебра и начала анализа» в теме «Предел функции и производная». Тогда же изучаются производные суммы, произведения, частного, многочлена, дробно-рациональной и сложной функций. В 10 классе учащиеся знакомятся с производными тригонометрических, показательной и логарифмической функций.

Основной целью изучения производной является раскрытие прикладного значения производной. Основная задача учителя математики состоит в том, чтобы научить учащихся умению решать задачи на применение производной.

Анализ базисной программы школы по математике по теме «Производная» позволяет выделить в качестве основных следующие практические умения:

1. вычислять производные;

2. находить экстремумы функции;

3. находить промежутки возрастания и убывания функций;

4. исследовать функции с помощью производной и строить их графики;

5. находить наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке;

6. решать текстовые задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений.

В соответствии, выясним круг основных методов решения задач школьного курса начал анализа. Производные школьном курсе начал анализа используются 1) при нахождении промежутков возрастания и убывания функций с помощью производной;

2) при выяснении экстремумов функций с помощью производной;

3) построении графиков функций на основе их исследования;

4) нахождении наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке;

5) решении текстовых задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения.

В учебнике «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» М.И. Башмакова материал второй главы «Производная и ее применение» основывается на понятии производной. Оно вводится в процессе неформального обсуждения механического и геометрического смысла производной.

(Производная – это скорость(механический смысл)

Производная – это угловой коэффициент касательной(геометрический)).

Определение1: Производной функции у=f(x) называется предел при.

Определение2: Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю: или.

Изучение учебного материала к этой главе, имеет следующие цели:

1. ознакомление учащихся на наглядном материале с понятием дифференцирования и предельного перехода;

2. формирование навыков использования элементарных функций при исследовании реальных процессов и решения задач на максимум и минимум с прикладным содержанием;

3. изложение направлено на выработку стандартных навыков, которое обычно выделяется при изучении этого раздела основ математического анализа в средней школе: вычисление производной, исследование функций с помощью задачи на максимум и минимум. Однако изложения производной представлены более широко по сравнению с другими учебниками.

10 класс (2 ч в неделю – 1 полугодие, 3 ч в неделю – 2 полугодие, всего- 85ч)

Тематическое планирование:

Производная и ее применение – 30 ч.

- Введение понятия производной. Механический и геометрический смысл производной-2ч;

- Схема вычисления производной. Правила дифференцирования-3ч;

- Производная степенной функции-1ч;

- Линейная замена аргумента-1ч;

- Упражнения-2ч;

- Контрольная работа-1ч;

- Связь свойств функции и производной-3ч;

- Исследование функций с помощью производной и построения графиков-5ч;

- Контрольная работа-1ч;

- Физическое приложение производной-2ч;

- Дифференциал. Уравнение касательной. Применение производной в приближенных вычислениях-3ч;

- Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Задачи на максимум и минимум-4ч;

- Контрольная работа-1ч;

- Обзорный урок по теме-1ч.

Производная вводится с опорой на интуицию и наглядные соображения при рассмотрении задачи о нахождении мгновенной скорости движения. Далее скорость прямолинейного движения связывается с крутизной графика функции, которую удобно мерить угловым коэффициентом касательной к графику функции. Таким образом, учащиеся подводятся к мотивировке введения понятия производной и знакомятся с механическим и геометрическим смыслом производной.

Хотя в учебнике используется термин «предел» и его символическая запись, но формирование этого понятия не предусматривается. Умение воспроизводить доказательства теорем не предполагается, основное внимание следует уделить их применению при нахождении производной. При изучении приложений производной основное внимание уделить решению задач, связанных с использованием производной при исследовании функции.

В 1990 году вышло в свет издание учебника по алгебре и началам анализа, которое разрабатывалось под руководством академика А.Н. Колмогорова и в течение многих лет служило пособием для массовой школы.

При изложении элементов анализа авторы ориентировались на наглядность, по возможности освобождая учащихся от технических и теоретических трудностей. с этой целью увеличено число обращений к моделям и графическим иллюстрациям основных понятий и идей анализа. больше внимания уделено приложениям. Сокращен и изменен текст о предельных переходах.

Определение: Производной функции f в точке называется число, к которому стремится разностное отношениепри.

10 класс (2 ч в неделю- 1 полугодие, 3 ч в неделю- 2 полугодие, всего – 85 ч).

Производная (15 ч):

Приращение функции-2ч

Понятие о производной-2ч

Понятие о непрерывности функции и предельном переходе-1ч

Правила вычисления производных-4ч

Производная сложной функции-2ч

Производная тригонометрических функций-3ч

Контрольная работа-1ч

Применение непрерывности и производной (12):

Применение непрерывности-3ч

Касательная к графику функции-3ч

Приближенные вычисления-2ч

Производная в физике и технике-3ч

Контрольная работа-1ч

11 класс Применение производной к исследованию функции (14)

Признак возрастания (убывания) функции-2ч

Критические точки функции, максимум и минимум-3ч

Примеры применения производной к исследованию функции-3ч

Наибольшее и наименьшее значение функции-3ч

Контрольная работа-1ч.

При рассмотрении понятий приращения аргумента и приращения функции следует обратить внимание графической интерпретации этих понятий. Введению производной предшествует рассмотрение двух содержательных задач – задачи о проведении касательной как прямой, практически «сливающейся» с графиком функции вблизи данной точки, и задачи о нахождении мгновенной скорости. Обобщение и формализация метода их решения приводят к необходимости поиска числа, к которому стремится разностное отношение, т.е. к определению производной. Таким образом, создается наглядный материальный образ понятия производной.

Понятия о непрерывности функции и предельном переходе не являются обязательным материалом. Формирование понятия предела не предусматривается. Правила нахождения производных основы на определении производной. Если введение общей формулы производной сложной функции вызывает затруднение, то можно ограничиться рассмотрением случая h(x)=f(kx+b).

Тема применение производной начинается с изучения производной. Следует иметь в виду, что метод интервалов является универсальным методом решения неравенств, а также как практическая основа для применения производной к исследованию функции. Не обязательно требовать знания общей формулы касательной, достаточно усвоить геометрический смысл производной как углового коэффициента. Вопросы приложения производной к приближенным вычислениям не является обязательным.

Важным приложением производной является нахождение скорости при неравномерном движении, механический смысл производной.

Следует уделить внимание на разнообразие задач при исследовании функции, При нахождении наименьших и наибольших значений функций не следует ограничиваться только замкнутыми промежутками, желательно рассмотреть различные случаи.

В 2002 году выходит учебник «Алгебра и начала анализа 11» С.М. Никольского, М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова, А.В. Шевкина. Учебник представляет собой новый тип учебника, включающего материал, как для общеобразовательных классов, так и для классов с углубленным изучением математики, и содержит большое количество задач для подготовки к выпускному школьному и конкурсным экзаменам.

Учебник «Алгебра и начала анализа 11» включает 2 главы:

1. Функции. Производные. Интегралы.

2. Уравнения. Неравенства. Системы;

дополнение: «Комплексные числа», а также раздел: «Задания для повторения».

материал первой и второй глав можно изучать параллельно с начала учебного года, отводя на их изучение 2 ч и 1 ч в неделю соответственно (при 3 ч в неделю).

В первой главе содержатся параграфы: 1) Функции и их графики

2) Предел функции и непрерывность

3) Обратные функции

4) Производная

5) Применение производной

6) Первообразная и интеграл

Четвертый параграф посвящен производным и формулам дифференцирования. В классах с углубленным изучением математики дополнительно изучаются непрерывные функции, имеющие производную, дифференциал, производные обратных функций.

Пятый параграф посвящен вопросам применения производной, рассматриваются локальные экстремумы функции, наибольшее и наименьшее ее значения на промежутке, построение графиков функций с применением производной. В классах с углубленным изучением математики дополнительно изучаются выпуклость и вогнутость графика функции, теоремы о среднем, асимптоты, формула и ряд Тейлора.

Общеобразовательные классы(3 ч в неделю, всего-102 ч)

Производная (10ч):

- Понятие производной-2ч

- Производная суммы. Производная разности-2ч

-*Непрерывные функции, имеющие производную. Дифференциал.

- Производная произведения. Производная частного-2ч

- Производные элементарных функций-1ч

- Производная сложной функции-2ч

-*Производная обратных функций

- Контрольная работа-1ч

Применение производной (15):

- Максимум и минимум функции-2ч

- Уравнение касательной-2ч

- Приближенные вычисления-1ч

-*Теоремы о среднем

- Возрастание и убывание функции-2ч

- Производные высших порядков-1ч

-*Выпуклость и вогнутость графика функции

- Экстремум функции с единственной критической точкой-2ч

- Задачи на максимум и минимум-2ч

-*Асимптоты. Дробно-линейная функция

- Построение графика функции с применением производной-2ч

-*Формула и ряд Тейлора

- Контрольная работа-1ч

Классы с углубленным изучением математики (5 ч в неделю, всего- 170 ч)

Производная (14ч)

Применение производной (20ч)

Определение: Производной функции y=f(x), заданной на некотором интервале (а;в) в точке х этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю: .

( Скорость- производная от пути по времени: ;

Угол наклона касательной: ).

Приведем анализ раздела «Производная» выше названных учебников:

1. Раздел связывается с ранее изученными темами по следующим линиям:

   1. определение понятий, формулировки и доказательства теорем используют ранее изученный материал. (Например, вывод формул производных тригонометрических функций опирается на различные формулы, полученные в разделе «Тригонометрические функции»; исследование функций с помощью производных основано на введенных ранее понятий монотонности, точек экстремума и т.д.);

   2. доказательства теорем существенным образом опираются на ранее приобретенные навыки и умения. (Например, вывод формул производных рассматриваемых функций, практически всегда требует навыков тождественных преобразований; геометрический смысл производной и вывод уравнения касательной тесно связан с умением написать уравнение прямой. проходящее через данную точку и имеющей данный угловой коэффициент и т.д.);

   3. практические навыки и умения, которым предполагается обучить, существенным образом включают в себя элементарные операции, изученные в предшествующих разделах. (Например, определение промежутков монотонности предполагает, как правило, решение неравенств, а отыскание критических точек сводится к решению уравнений);

   4. при решении практических задач используется непосредственно знание теоретического материала предыдущих разделов, в основном сведения об элементарных функциях и их свойствах;

   5. специфической особенностью данного материала, является то, что многие планируемые для данного раздела результаты обучения не получают в дальнейшем развития и поэтому носят итоговый характер.

2. Содержание раздела в большей степени насыщено теоретическими фактами, вводимыми понятиями. Появляются новые идеи, имеющие как прикладной, так и теоретический характер.

3. Практическая составляющая содержания раздела имеет ярко выраженный комплексный характер и связана с выполнением достаточно большого числа элементарных операций.

\