Паралелепіпед

Паралелепіпедом називається призма, в основі якої лежить паралелограм. Усі грані паралелепіпеда — паралело­грами. Грані паралелепіпеда, які не мають спільних вершин, називаються протилежними. Теорема 1. Протилежні грані паралелепіпеда є паралельними й рівними. Паралелепіпед залишається паралелепіпедом у всіх випадках, коли за його основу вважаємо довільну його грань (див. рисунок). Теорема 2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці й точкою перетину діляться навпіл. Із цього випливає, що точка перетину діагоналей паралелепіпеда є його центром си­метрії. Зверніть увагу: у прямого паралелепіпеда є чотири діагоналі, які попарно дорівнюють одна одній. На рисунку ; . Це випливає з властивостей похилих, оскільки — рівні перпендикуляри до площини основи ABCD. Якщо дві діагоналі прямого паралелепіпеда виходять із сусідніх вершин, то більша з них та, яка проектується у більшу діагональ основи, тобто таку діагональ паралелограма, яка лежить проти тупого кута. Отже, якщо на наведеному вище рисунку вважати кут ABC тупим, отримаємо , . Прямий паралелепіпед, у якого основою є прямокутник, називається прямокутним паралелепіпедом (див. рисунок). Усі грані прямокутного паралелепіпеда — прямокутники, які можна розбити на три пари рівних між собою. Довільну грань прямокутного паралелепіпеда можна вважати його основою. Враховуючи, що при паралельному проектуванні довільний паралелограм може зображуватися довільним паралелограмом, зо­браження прямокутного паралелепіпеда ніяк не відрізняється від зображеня будь-якого прямого паралелепіпеда. Довжини непаралельних ребер називаються лінійними розмірами (вимірами) прямокутного паралелепіпеда. Теорема 3. У прямокутному паралелепіпеді всі діагоналі рівні. Квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів. Усі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда є прямими. Прямокутний паралелепіпед має три пари рівних між собою діагональних перерізів. Кожний із цих перерізів є прямокутником (див. ри­сунки). Кожна пара перерізів перетинається по прямій, яка проходить через точки перетину діагоналей протилежних граней. Відрізки між цими точками є паралельними й дорівнюють одному з ребер прямокутного паралелепіпеда. Прямокутним є трикутник, який утворюється діагоналлю прямокутного паралелепіпеда, діагоналлю бічної грані й стороною основи (див. рисунок). Наприклад, . Прямокутний паралелепіпед має центр симетрії — це точка перетину його діагоналей. Він також має три площини симетрії, які проходять через центр симетрії паралельно граням. Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом. Площина будь-якого діагонального перерізу куба є його площиною симетрії. Таким чином, куб має дев’ять площин симетрії. На рисунку розглянемо взаємне розміщення деяких елементів прямого паралелепіпеда: — кут між діагоналлю бічної грані й площиною основи ( — перпендикуляр, — похила, СD — проекція). — кут між діагоналлю прямого паралелепіпеда й площиною основи ( — перпендикуляр, — похила, АС — проекція). — кут нахилу діагоналі до бічної грані (AD — перпендикуляр, — похила, — проекція). Нехай — прямий паралелепіпед (див. рисунок), де ABCD — ромб. Проведемо його переріз площиною, що проходить через діагональ основи BD і вершину . У перерізі отримаємо рівнобедрений трикутник . — лінійний кут двогранного кута між площинами основи й перерізу. за властивістю діагоналей ромба, — перпендикуляр, — похила, СО — проекція. За теоремою про три перпендикуляри: .

Піраміда

Пірамідою називається многогранник, який складається з плоского многокутника — основи піраміди, точки, яка не лежить у площині основи — вершини піраміди, і всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами. Висота піраміди — перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину основи. Піраміда називаєтьсяn-кутною, якщо її основою є n-кутник. Трикутна піраміда називається також тетраедром. Бічна грань піраміди — трикутник. Однією з його вершин є вершина піраміди, а протилежною стороною — сторона основи піраміди. На рисунку SO — висота піраміди. Тоді — кут між бічним ребром і площиною основи (SO — перпендикуляр, SА — похила, OА — проекція). З основи висоти піраміди (точки О) проведемо перпендикуляр на сторону основи (наприклад, АЕ). Основу цього перпендикуляра (точку F) з’єднаємо з вершиною піраміди (точкою S). За теоремою про три перпендикуляри: . (SO — перпендикуляр, SP — похила, OF — проекція, за побудовою.) Отже, — лінійний кут двогранного кута між площиною бічної грані ASEі площиною ­основи. Для розв’язування задач про піраміду дуже важливо з’ясовувати, де розміщена основа її висоти. 1. Якщо виконується хоча б одна з таких умов: • усі бічні ребра піраміди рівні; • усі бічні ребра нахилені до площини основи під одним і тим самим кутом; • усі бічні ребра утворюють однакові кути з висотою піраміди; • усі бічні ребра рівновіддалені від основи висоти, — то основою висоти піраміди є центр кола, описаного навколо основи піраміди. Бічне ребро l, висота H і радіус R описаного навколо основи кола утворюють прямокутний трикутник: У цьому випадку бічну поверхню можна знайти за формулою , де l — довжина бічного ребра, , ... — плоскі кути при вершині. 2. Якщо виконується хоча б одна з таких умов: • всі бічні грані нахилені до площини основи під одним і тим самим кутом; • усі бічні грані мають однакові висоти; • висоти бічних граней утворюють однакові кути з висотою піраміди; • бічні грані рівновіддалені від основи ви­соти, — то основа висоти лежить у центрі кола, вписаного в основу піраміди. На рисунку — прямокутний , — радіус вписаного кола в ABCDEF; — висота піраміди, SP — висота бічної грані; — ліній­ний кут двогранного кута між бічною гранню й площиною основи; О — центр вписаного в основу кола, тобто точка перетину бісектрис ABCDEF. У цьому випадку . 3. Якщо бічне ребро перпендикулярне до площини основи, то це ребро є висотою піраміди (див. рисунки). У цьому випадку і — кути нахилу бічних ребер SВ і SС відповідно до площини основи. є лі­нійним кутом двогранного кута між бічними гранями SAC і SBA. 4. Якщо бічна грань перпендикулярна до площини основи (див. рисунок), то ви­сотою піраміди буде висота цієї грані (за теоремою «Якщо пряма, яка лежить в одній із двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до прямої їх перетину, то вона пер­пендикулярна до другої пло­щини»). 5. Якщо дві бічні грані перпендикулярні до площини основи, то висотою піраміди є їх загальне бічне ребро.

Відстані від основи висоти піраміди

Відстань від основи висоти піраміди до бічного ребра — перпендикуляр, опущений із точки О на це ребро (див. рисунок). Зверніть увагу: , але на рисунку не повинен бути прямим: кути при паралельному проектуванні не зберігаються. OF — відстань від основи висоти до бічного ребра SE; ON — відстань від основи висоти до бічної грані ASB (про цю відстань докладніше дивись нижче). , де — кут між ребром SE і площиною основи.

Відстань від основи висоти до бічної грані

Нехай , тоді за теоремою про три перпендикуляри. Отже, AB перпендикулярна до площини SOK. Звідси, якщо , то ON перпендикулярна до площини ASB. . Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а основа висоти збігається з центром многокутника. Віссю правильної піраміди називається пряма, яка містить її висоту. Бічні ребра правильної піраміди рівні, бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники. Висота бічної грані, проведена з вершини піраміди, називається апофемою. Вона є бісектрисою та медіаною бічної грані, оскільки та є рівнобедреним трикутником. Теорема. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему. ; , де Р — периметр основи, а — сторона основи, l — довжина апофеми. Правильна трикутна піраміда В основі правильної трикутної піраміди лежить рівносторонній трикутник, який зображується довільним трикутником (див. рисунок). Центром є точка перетину його бісектрис, котрі водночас є висотами і медіанами. Медіани при паралельному проектуванні зображуються медіанами. Тому будуємо дві медіани основи. Точка їх перетину — основа висоти піраміди. Зображуємо висоту, а потім з’єднуємо вершину піраміди з вершинами основи. Отримаємо бічні ребра. На рисунку: — кут нахилу бічного ребра до площини основи (однаковий для всіх ребер); — кут нахилу бічної грані до площини основи (однаковий для всіх граней). Нехай . Тоді ; ; ; ; ; . Отже, . ; . Площина осьового перерізу ASD є площиною симетрії правильної трикутної піраміди. Ця площина перпендикулярна до площини основи і площини грані BSC. Цікаво також відмітити, що мимобіжні ребра піраміди (SA і BC, SB і AC, SC і AB) є перпендикулярними. Якщо , то ON є відстанню від основи висоти не тільки до анафеми, а й до бічної грані BSC. . Правильна чотирикутна піраміда В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат, який зображується довільним паралелограмом. Його центром є точка перетину діагоналей. Ця точка — основа висоти піраміди. Нехай сторона квадрата а (див. рисунок). Тоді ; ; ; ; . Зверніть увагу: , , тобто . При паралельному проектуванні паралельність зберігається. ; . Відстань від основи висоти до бічної грані: ; . Правильна шестикутна піраміда В основі правильної шестикутної піраміди лежить правильний шестикутник (див. рисунок). Його центром є точка перетину діагоналей. Ця точка — основа висоти піраміди. Тоді ; Нехай сторона правильного шестикутника а. ; ; . ; . Зрізана піраміда Зрізаною пірамідою називається многогранник, який залишиться, якщо від піраміди відділити площиною, яка паралельна основі, піраміду з тією ж вершиною. Теорема. Площина, яка паралельна основі піраміди й перетинає її, відтинає подібну піраміду. Зверніть увагу: щоб правильно зобразити зрізану піраміду, треба починати із зображення вихідної повної піраміди (див. рисунок). Основи зрізаної піраміди — подібні многокутники. Бічні грані — трапеції. — висота зрізаної піраміди, — висота бічної грані, — кут нахилу бічного ребра до площини основи (будь-якої), — кут нахилу бічної грані до площини нижньої основи. Правильна зрізана піраміда — це зрізана піраміда, яку дістали з правильної піраміди. Її бічні ребра рівні й нахилені до площини основи під одним і тим самим кутом. Її бічні грані дорівнюють рівнобічній трапеції і нахилені до площини нижньої основи під одним і тим самим кутом. Висоти бічних граней піраміди називаються апофемами. Бічна поверхня правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку півсуми периметрів основ і апофеми. , де Pн і Pв — периметри відповідних основ, l — апофема. На рисунках зображені фігури, які буває дуже корисним розглянути при розв’язуванні задач на зрізану піраміду. ; . ; — прямокутна трапеція. — висота зрізаної піраміди. — висота бічної грані. У випадку, коли зрізана піраміда правильна, відрізки OD і є радіусами описаного кола, а OF і — радіусами вписаного кола для нижньої і верхньої основи відповідно.