36. Перетворення Лапласа. Аналітичність перетворення Лапласа.
Перетворенням Лапласа називається функція комплексної змінної
(*). Якщо - інтегрована на кожному скінченому проміжку, то цей інтеграл збігається.Інтеграл збігається для функцій-оригіналів.
Оригіналом називається функція змінної t , що задовольняє:
1) - неперервна, або кусково-неперервна на кожному скінченому проміжку.
2) Обмежена на порядок росту на нескінченності.
3)
Число називається порядком росту функції .
Зображенням функції оригінала називається перетворення Лапласа цієї функції
. Позначається . - оригінал. - зображення.
Теорема
Якщо - оригінал з показником росту , то інтеграл Лапласа збігається рівномірно в півплощині і є аналітичною функцією в цій півплощині.
1)Доведемо, що цей інтеграл збігається .Це пов”язано з пунктом 2). Застосовуємо умову Вейєрштраса. Оскільки , то при маємо:
Інтеграл від більшого збігається, тому збігається і від меншого
2) Рівномірна неперервність
Розглянемо область . Нехай . Розглянемо область . як завгодно малих.
Рівномірно збігається на відкритій множині збігається на будь-якій замкненій множині, що належить цій відкритій множині.
Розглянемо внутрішню, заштриховану частину кута.
Тоді маємо збігається.Розглянемо залишок . Інтеграл Лапласа збігається для всіх виконується ( з означення збіжності інтеграла). - має похідну (інтеграл - це диференційована функція)
Ця нерівність виконується і для всіх р з внутрішньої частини кута.
обираємо
(область) таке, що для всіх
збіжність рівномірна збігається рівномірно на
3) Аналітичність
Якщо - оригінал , то - теж оригінал . Порядок росту не змінюється при множенні на , похідна існує, отже, функція аналітична.
Теорема
Якщо - зображення функції з показником росту , то
Доведення В півплощині виконується якщо модуль прямує до нуля, то і вся функція прямує до нуля. Оскільки аналітична на , то це означає, що Якщо аналітична, то інтеграл не залежить від щляху інтегрування, а лише від початкової і кінцевої точок.
Наслідок
, або не можуть бути зображеннями, оскільки , тобто не виконується необхідна умова.
- 11. Ряд Лорана аналіт.Функції, його єдинственність для анал.Функц.
- 12. Теорема Лорана про розвинення анал.Функції в ряд Лорана
- 13. Ізольовані особливі точки. Класифікація.
- 14. Теорема про правильну точку аналітичної функції.
- 15. Полюси. Необхідна і достатня умова полюса к-го порядку.
- 16. Зв’язок характеру особливої ізольованої точки з виглядом розкладу в ряд Лорана в околі цієї точки
- 17. Характер нескінченно віддаленої особливої точки
- 18. Лишки. Їх зв’язок з інтегралом по замкненій кривій
- 19. Обчислення лишків
- 20. Лишки в нескінченно віддаленій точці
- 21. Застосування лишків для обчислення визначених інтегралів
- 22. Застосування лишків до невласних інтегралів
- 23. Застосування лишків до невласних інтегралів
- 24. Тригонометричні ряди Фур’є
- 25. Абстрактні ряди Фур’є
- 26. Нерівність Коші-Буняковського та теорема Піфагора.
- 27. Основні властивості коефіцієнтів Фур’є. Нерівність Бесселя
- Нерівність Бесселя
- 28. Поточкова збіжність тригонометричних рядів Фур'є
- 29. Лема Рімана та наслідок з неї.
- 30. Достатня умова збіжності ряду Фур’є в точці.
- 31. Теорема Фейєра та наслідки з неї.
- 32. Зв’язок швидкості спадання коефіцієнтів ряду Фур’є з гладкістю функції
- 33. Теорема про повноту тригонометричної системи
- 34. Перетворення Фур’є, існування, властивості.
- 35. Достатні умови представлення функції в інтеграл Фур’є
- 36. Перетворення Лапласа. Аналітичність перетворення Лапласа.
- 37. Властивоcті перетворень Лапласа
- 38. Диференціювання та інтегрування оригінала та зображення
- 39. Згортка функції. Зображення згортки.
- 40. Обернене перетворення Лапласа. Формула Рімана-Меліна
- 41. Лема Жордана. Формула обернення.