Билет № 20 Аксиоматическое построение вычитание и деление.

Вычитанием натуральных чисел a и b называется операция, удовлетворяющая условию: a-b=c тогда и только тогда, когда b+c=a.

Число a-b называется разностью чисел a и b, число a – уменьшаемым, число b – вычитаемым.

Теорема 1 Разность натурадьных чисел a-b существует тогда и только тогда, когда b<a.

Доказательство: Пусть разность a-b существует. Тогда, по определению разности, найдется такое натуральное число с, что b+c=a, это значит, что b<a.

Если же b<a, то по определению отношения меньше, существует такое натуральное число с, что b+c=a. Тогда по определению разности, с= a-b, т.е. разность a-b существует.

Теорема 2 Если разность натуральных чисел a и b существует, то она единственна.

Теорема 3 Пусть a,b и c – натуральные числа.

1. Если a>c, то (a+b)-c=(a-c)+b

2. Если b>c, то (a+b)-c=a+(b-c)

3. Если a>c и b>c,то можно использовать любую из данных формул.

Для того чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.

Теорема 4 Пусть a,b и c – натуральные числа. Если a>b+c, то a-(b+c)=(a-c)-b

или a-(b+c)=(a-c)-b

Для того, чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагшаемое одно за другим.

Делением натуральных чисел a и b называется операция, удовлетворяющая условию: a:b=c тогда и только тогда, когда b*c=a

Число a:b называется частным чисел a и b, число a – делимое, число b – делитель.

Теорема1: Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел a и b, необходимо чтобы b≤а

Теорема2: Если частное натуральных чисел a и b существует, то оно единственно.

Доказательство: Ведь если разделить 6 на 3 то получится 2. И всегда если делить 6 на 3 то будет получаться 2.

Теорема3: Если числа a и b делятся на число с, то и их сумма a+b делится на с, причем частное, получаемое при делении суммы a+b на число с, равно сумме частных, получаемых при делении a на с и b на с, т.е. (a+b):с=a:с+b:с

Для того чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Теорема4: Если натуральные числа a и b делятся на число с и a>b, то разность a-b делится на с, причем частное, получаемое при делении разности на число с, равно разности частных, получаемых при делении a на с и b на с,т.е. (a-b):с=а:с-b:с

Для того, чтобы разделить разность на число, достаточно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе.

Теорема5: Если натуральное число а делится на натуральное число с, то для любого натурального числа b произведение ab делится на с. При этом частное, получаемое при делении произведения ab на число с, равно произведению частного, получаемого при делении a на с, и числа b (a*b):с-(а:с)*b

Для того, чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.