34. Перетворення Фур’є, існування, властивості.
Оначення 1
Функція - називається перетворенням Фур’є функції . Під інтегралом на розуміємо головне значення інтеграла.
Зауваження
Якщо - абсолютно інтегрована на R (існує інтеграл від модуля функції в невласному сенсі), то - збігається рівномірно на R для (ознака Веєрштраса для рівномірної збіжності невласних інтегралів).
Означення 2
Якщо перетворення Фур’є , то називається інтегралом Фур’є функції . Цей інтеграл розуміється як інтеграл в головному значенні.
Означення 3
Інтеграли є відповідно косинус і синус перетворення Фур’є функції.
Якщо то отримуємо . Перетворення Фур’є повністю визначається своїми значеннями для невід’ємних t.
інтеграл Фур’є можна подати у вигляді
Твердження
Якщо - локально - інтегрована і абсолютно інтегрована на R, то
1) Її перетворення Фур’є визначено .
2) (неперервно)
3)
4) .
Доведення
1) Оскільки і - збігається за ознакою
3) Вейєрштраса перетворення Фур’є існує для всіх .
.
4) За лемою Рімана (вимога до функції за лемою Рімана – абсолютна інтегрованість. В даному випадку це виконується.)
- абсолютно інтегрована.
2) Неперервність
Оскільки інтеграл збігається абсолютно і абсолютно то це справджується і для граничної функції.
, як границі рівномірно збіжної послідовності граничних функцій.
- 11. Ряд Лорана аналіт.Функції, його єдинственність для анал.Функц.
- 12. Теорема Лорана про розвинення анал.Функції в ряд Лорана
- 13. Ізольовані особливі точки. Класифікація.
- 14. Теорема про правильну точку аналітичної функції.
- 15. Полюси. Необхідна і достатня умова полюса к-го порядку.
- 16. Зв’язок характеру особливої ізольованої точки з виглядом розкладу в ряд Лорана в околі цієї точки
- 17. Характер нескінченно віддаленої особливої точки
- 18. Лишки. Їх зв’язок з інтегралом по замкненій кривій
- 19. Обчислення лишків
- 20. Лишки в нескінченно віддаленій точці
- 21. Застосування лишків для обчислення визначених інтегралів
- 22. Застосування лишків до невласних інтегралів
- 23. Застосування лишків до невласних інтегралів
- 24. Тригонометричні ряди Фур’є
- 25. Абстрактні ряди Фур’є
- 26. Нерівність Коші-Буняковського та теорема Піфагора.
- 27. Основні властивості коефіцієнтів Фур’є. Нерівність Бесселя
- Нерівність Бесселя
- 28. Поточкова збіжність тригонометричних рядів Фур'є
- 29. Лема Рімана та наслідок з неї.
- 30. Достатня умова збіжності ряду Фур’є в точці.
- 31. Теорема Фейєра та наслідки з неї.
- 32. Зв’язок швидкості спадання коефіцієнтів ряду Фур’є з гладкістю функції
- 33. Теорема про повноту тригонометричної системи
- 34. Перетворення Фур’є, існування, властивості.
- 35. Достатні умови представлення функції в інтеграл Фур’є
- 36. Перетворення Лапласа. Аналітичність перетворення Лапласа.
- 37. Властивоcті перетворень Лапласа
- 38. Диференціювання та інтегрування оригінала та зображення
- 39. Згортка функції. Зображення згортки.
- 40. Обернене перетворення Лапласа. Формула Рімана-Меліна
- 41. Лема Жордана. Формула обернення.