Вектори в просторі

Усі основні означення векторів у просторі залишаються такими самими, як означення векторів на площині (див. розділ «Геометрія. 8 клас»). Координатами вектора , де , , називають числа , , . Вектори рівні тоді, й тільки тоді, коли вони мають відповідно рівні координати. Це дає підставу позначити вектор його координатами , або просто . . Дії над векторами в просторі позначають так само, як і на площині: . Діють і геометричні правила: правило трикутника, правило паралелограма, правило многокутника. Так само доводиться, що , а напрям вектора збігається з напрямом , якщо , і протилежний напряму , якщо . Зберігається поняття колінеарних векторів і його необхідна й достатня умова. Скалярним добутком векторів і називається число . Має місце теорема, за якою скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх абсолютних величин і косинуса кута між векторами: . Для того щоб два вектори були перпендикулярними, необхідно й достатньо, щоб їх скалярний добуток дорівнював нулю. Кожний вектор у просторі можна єдиним способом розкласти за трьома координатними векторами , і (див. рисунок).

Геометрія. 11 клас

Многогранники

Двогранним кутом називається фігура, утворена двома півплощинами зі спільною прямою, що їх обмежує, — ребром двогранного кута. Півплощини називаються гранями двогранного кута. Площина, перпендикулярна до ребра двогранного кута, перетинає його грані по двох півпрямих. Кут, утворений такими півпрямими, називається лінійним кутом двогранного кута (див. рисунок). За міру двогранного кута приймається міра його лінійного кута. Міра двогранного кута не залежить від вибору лінійного кута. Побудувати лінійний кут двогранного кута можна двома способами. 1. Обрати точку на ребрі кута й провести через цю точку перпендикуляри до ребра, що лежать у гранях кута (див. рисунок нижче зліва). Кут між цими перпендикулярами — лінійний кут даного двогранного ­кута. 2. Обрати точку на грані двогранного кута й опустити з неї перпендикуляри на ребро кута та на іншу грань двогранного кута (див. рисунок нижче справа). З’єднати основи цих перпендикулярів. Кут між цим відрізком і перпендикуляром, проведеним до ребра двогранного кута, буде лінійним кутом даного двогранного кута.