12. Теорема Лорана про розвинення анал.Функції в ряд Лорана

Будь-яка функція , однозначна і аналітична в області D ( ) може бути представлена в цьому кільці збіжним рядом Лорана .

Зауваження

Охоплюються випадки:

1) круг без центра – точки

2) зовні кола

3) вся площина без точки

Доведення

Тоді в області функція аналітична. Має місце інтегральна формула Коші : .

1) На маємо

(як сума геометричної прогресії із знаменником ).

- аналітична на неперервна, обмежена, тоді на рівномірно збігається і ряд його можна почленно інтегрувати:

2) На маємо :

- неперервна, обмежена в точках ряд буде збігатися рівномірно і після множення на :

.

Можна інтегрувати на почленно :

Таким чином, отримали

(з теореми Коші для багатозв’язних областей випливає, що

). Доведено.