32. Зв’язок швидкості спадання коефіцієнтів ряду Фур’є з гладкістю функції

Степінь гладкості функції в точці – кількість похідних, які функція має в цій точці.

Лема( Диференціювання ряду Фур’є)

Якщо неперервна функція , можливо комплекснозначна. Має однакові значення на кінцях інтервалу, отже, її можна зробити періодичною. Кусково-неперервно-диференційована для неї виконано умови теореми Діні . Ряд Фур’є її похідної

можна отримати формальним диференціюванням ряду Фур’є самої функції , якій відповідає ряд Фур’є .

. (*)

Доведення

З теореми , що для всіх функцій ряд Фур’є існує.

Твердження

Нехай

Якщо має кусково-неперервну - ту похідну (похідні до порядку просто неперервні).

То

,

причому .

Доведення

Застосовуючи (*) m разів, отримуємо

Позначивши , отримуємо .

З нерівності Бесселя отримуємо .

Зауваження

Враховуючи, що в дійсному вигляді зв”язок між відомий,

, такі, що при

.

Теорема

Якщо f – неперервна , 2 - періодична функція , і вона має на інтервалі кусково- неперервну похідну порядку , то її ряд Фур’є збігається до f абсолютно і рівномірно на всьому періоді, причому відхилення часткових сум від f можна оцінити нерівністю .

Доведення

. f задовольняє умовам твердження .

Тоді - збігається, оскільки за нерівністю Коші-Буняковського - збігається абсолютно і рівномірно на за критерієм Вейєрштраса.

- мажоранта для . Причому ряд збігається до функції , оскільки в усіх точках інтервалу виконані умови Діні (кусково-неперервна похідна ).

Оцінка похибки