§23. Предельные случаи теорем Паскаля и Брианшона
Рассмотрим предельные (частные) случаи теорем Паскаля и Брианшона.
Представим себе, что точки определяющие какую-нибудь сторону вписанного шестивершинника, сливаются, тогда эта сторона превращается в касательную и получается фигура, изображенная на следующем рисунке
Рис. 21
Теорема. Касательная к линии второго порядка, проведенная в одной из вершин вписанного пятивершинника, пересекается со стороной, противоположной этой вершине, в точке, которая лежит на прямой, проходящей через точки пересечения остальных пар несмежных сторон этого пятивершинника.
Двойственную этому предельному случаю теорему Брианшона получим, полагая, что две смежные стороны описанного шестисторонника сливаются в одну, а общая их вершина превращается в точку прикосновения.
Теорема. Прямая, соединяющая точку касания одной из сторон описанного пятисторонника с противоположной вершиной, проходит через общую точку прямых, соединяющих остальные две пары несмежных вершин этого пятисторонника.
Рис. 22
Задача 49. Овальная кривая второго порядка задана четырьмя точками и касательной в одной из них.
а) Построить касательную к кривой в одной из данных точек;
б) Построить еще одну точку кривой.
Решение.
а) Пусть заданы точки ,, ,, и прямая – касательная к кривой в точке . Построим касательную к кривой в точке .Примем точки и за центры пучков и , порождающих кривую ( следствие теоремы Штейнера). В проективном отображении , которое переводит прямые , , соответственно в прямые , , , касательной к кривой в точке является прямая . Задача сводится к построению образа прямой в заданном проективном отображении . Для этого построим точку – центр перспективного отображения . Находим далее , . Прямая – искомая касательная.
б) Возьмем произвольную прямую и найдем . Тогда по теореме Штейнера .
Рис. 23
Задача 50. Зная пять точек кривой второго порядка, построить касательную в одной из них.
Решение. Задача решается с помощью теоремы Паскаля для вписанного пятивершинника. Пусть отрезки, соединяющие данные точки, помечены числами , , , , , а назначенная точка – числом . Тогда, построив сначала точки , , а затем точку , соединяем точку с точкой , получая искомую касательную.
Рис. 24
Задача 51. Зная пять касательных кривой второго порядка, построить точку прикосновения одной из них.
Решение. Задачу решаем при помощи теоремы Брианшона для описанного пятисторонника. Пусть точки пересечения данных касательных помечены числами , , , , . Тогда, соединяя прямыми точки , и точки , , находим точку пересечения этих прямых. Прямая, соединяющая эту точку с точкой , пересечением с прямой , определит на ней искомую точку касания.
Рис. 25
- Глава 1. Первоначальные понятия, определения, факты. §1. Возникновение проективной геометрии. Центральное проектирование
- §2. Понятие проективного пространства. Простейшие свойства
- §3. Модели проективного пространства
- §4. Понятие проективных координат
- §5. Проективные координаты на плоскости
- §6. Уравнение прямой на проективной плоскости
- §7. Преобразование проективных координат
- §8. Принцип двойственности
- Глава 2. Некоторые линейные образы проективной геометрии §9. Теорема Дезарга
- §10. Сложное отношение четырех точек прямой
- §11. Сложное отношение четырех прямых пучка проективной плоскости
- §12. Полный четырехвершинник на проективной плоскости
- §13. Проективные отображения прямых и пучков
- §14. Теорема Паппа
- §15. Преобразования проективной прямой. Инволюции.
- §16. Преобразования проективной плоскости. Гомологии.
- Глава 3. Линии второго порядка на проективной плоскости §17. Понятие проективной линии второго порядка
- §18. Проективная классификация линий второго порядка.
- §19. Пересечение проективной линии второго порядка с прямой. Касательная к линии второго порядка.
- §20. Полюс, поляра, поляритет.
- §21. Теорема Штейнера.
- §22. Теоремы Паскаля и Брианшона .
- §23. Предельные случаи теорем Паскаля и Брианшона
- Связь между проективными и аффинными координатами. Геометрия аффинной плоскости с проективной точки зрения.
- Приложение 1 Ответы, указания, решения задач к главам 1, 2, 3.
- Задачи с решениями по всему курсу.
- М етодические указания
- Приложение 2 Содержание курса Проективная геометрия
- 1.Сравнительное изложение аффинной и евклидовой
- 2. Построение проективного пространства
- 3. Проективные координаты точек, проективные системы координат
- 4. Линии 1 порядка на проективной плоскости
- 5. Линии 2 порядка на проективной плоскости
- 6. Проективные преобразования проективных пространств
- 7. Приложение проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии
- Практические задания с решениями
- Тема 1. Сравнительное изложение аффинной и евклидовой геометрий
- Тема 2. Построение проективного пространства
- Построить образы отрезка, луча, прямой, угла, треугольника, окружности при параллельном и центральном проектировании. Рассмотреть различное расположение центра проекций и плоскости проекций.
- Построить следующие сечения конуса плоскостями: эллипсы, параболы, гиперболы.
- Тема 3. Проективные координаты точек, проективные системы координат. Первое занятие.
- На проективной прямой в модели пучка прямых построить прямую пучка (проективную точку) с координатами (a:b).
- На проективной плоскости в модели связки прямых построить прямую пучка (проективную точку) с координатами (a:b:c).
- Тема 3. Проективные координаты точек, проективные системы координат. Второе занятие.
- Написать уравнение бесконечно удаленной прямой в однородных координатах. Рассмотрите разные системы однородных координат на пополненной плоскости.
- Найти однородные координаты точки пересечения прямых
- Найти аффинные координаты точки пересечения прямых
- Найти однородные координаты точки пересечения прямой
- Тема 4. Линии 1 порядка на проективной плоскости. Первое занятие.
- На проективной плоскости прямые a, b, c заданы уравнениями
- Решить аналогичную задачу, если прямые заданы общими уравнениями в аффинных координатах.
- Тема 4. Линии 1 порядка на проективной плоскости. Второе занятие.
- Решение задач, аналогичных рассмотренным в практическом занятии №6, в случае гармонического отношения четырех точек проективной прямой или четырех прямых пучка.
- Построение четвертой гармонической точки прямой или четвертой гармонической прямой пучка для трех данных точек или прямых соответственно.
- Сделать рисунки к теореме Дезарга в случаях, когда
- Решение задач на аффинной плоскости с использованием теоремы Дезарга.
- Записать аффинное уравнение кривой 2 порядка в однородных координатах и, наоборот, записать однородное уравнение кривой 2 порядка в аффинных координатах.
- Найти точки пересечения кривых из задачи 1 с несобственной прямой.
- Даны канонические уравнения эллипса и гиперболы на аффинной плоскости. Записать эти уравнения в однородных координатах и найти проективное преобразование, переводящее кривые друг в друга.
- Решить предыдущую задачу для следующих кривых:
- Тема 7. Приложение проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии
- Список рекомендуемой литературы Основной