38. Диференціювання та інтегрування оригінала та зображення

- оригінал, , і його похідні існують і також є оригіналами, то

(*)

Доведення

Покажемо, що , а це за принципом математичної індукції поширюється на .

Інтегруємо за частинами:

Метод математичної індукції:

1) Для - доведено.

2) Нехай (*) виконується для довільного , тоді для маємо:

Доведено.

6) Диференціювання зображення

Теорема

Якщо є оригінал , то

Доведення

1) Якщо - оригінал, ,то виконується

Оскільки при - обмежена, тобто . Значить, - теж оригінал . Показником росту є .

2) Оскільки 1) вже доведено, - уже доведено при виводі аналітичної . За методом математичної індукції

7) Інтегрування оригінала

Теорема

Якщо існує оригінал та існує його зображення , то

Доведення

- оригінал, оскільки

.

Умова (2) виконується ,тому (1), (3) теж виконані, отже, - оригінал ,для нього існує перетворення Лапласа.

Нехай . Тоді . Але . Проте , а . Область збіжності .

8) Інтегрування зображення

Теорема

Якщо , і збігається (*) в півплощині , то .

Доведення

В півплощині , , інтеграл Лапласа збігається рівномірно по , тому маємо право інтегрувати по :

( - будь-яке, але ). Ми показали, що це теж буде оригіналом. Треба перевірити (*). Якщо немає збіжності, це не ьуде оригіналом.