Билет 21 Делимость натуральных чисел

Пусть даны натуральные числа a и b. Говорят то, что число а делится на число b, если существует такое натуральное число q, что а=bq

b-делителем числа а, число а-кратным числа b

Пример:24 делится на 8, т.к. существует такое число q=3, что 24=8*3. 8-делитель числа 24,24 кратное числа 8.

Число 1 является делителем любого натурального числа, потому что каждое число можно разделить на 1.

Теорема 1:Делитель b данного числа а не превышает этого числа, т.е. если а кратно b, то b< или равно а.

Пример: все делители числа 36 – это1,2,3,4,6,9,12,18,36.

В зависимости от числа делителей среди натуральных чисел различают простые и составные числа.

Простым числом называется такое натуральное число, которое имеет только два делителя – единицу и само это число.

Пример: число 13 простое, потому что у него только два делителя1 и 13.

Составным числом называется такое натуральное число, которое имеет более двух делителей

Пример: число 4 составное, у него три делителя 1,2,4

Число 1 не является не простым не составныи числом, в связи стем, что оно имеет только один делитель.

Теорема 2: Отношение делимости рефлексивно,т.е. любое натуральное число делится само на себя.

Доказательство: Для любого натурального а справедливо равенство а=а*1. Так как 1 принадлежит натуральному числу, то, по определению отношения делимости, а кратно а.

Теорема3. Отношения делимости антисимметрично,т.е. если а кратно b и а≠b,то кратно а

Теорема 4: Отношение делимости транзитивно,т.е. если а кратноb и dкратнос, то а кратно с.

Теорема5: (признак делимости суммы). Если каждое из натурадьных чисел а1+а2…аn делится на это число.

Теорема6: (признак делимости разности). Если числа а1 и а2 делятся на b и а1>а2, то их разностьа1-а2 делится на b

Теорема7:(признак делимости произвндения) Если числоа делится на b, то произведение вида ах, где х принадлежитN, делится на b/

Теорема8: Если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемы делятся на число b, то вся сумма на число b не делится.

Теорема9: Если в произведении аb множитель а делится на натуральное число m, а множитель b делится на натуральное число n,то ab делится на mn.

Теорема 10:Если произведение ас делится н6а произведение bc, причем с- натуральное число, то а делится на b.