Кут між мимобіжними прямими

Дві прямі, що перетинаються, утворюють суміжні та вертикальні кути. Кутова міра меншого із суміжних кутів називається кутом між прямими. Кут між перпендикулярними прямими дорівнює за означенням. Кут між паралельними прямими вважаємо таким, що дорівнює нулю. Кутом між мимобіжними прямими називається кут між прямими, які перетинаються й паралельні даним мимобіжним прямим. Цей кут не залежить від вибору прямих, що перетинаються. Мимобіжні прямі, кут між якими дорівнює , теж називаються перпендикулярними. Отже, якщо пряма перпендикулярна до площини, то вона перпендикулярна до будь-якої прямої на цій площині. Теорема. Будь-яка пряма на площині перпендикулярна до проекції похилої на цю площину тоді й тільки тоді, коли ця пряма перпендикулярна до самої похилої. (У такому вигляді часто використовують теорему про три перпендикуляри.) Приклади 1) На рисунку ABCDA1B1C1D1 — куб. а) Кут між і DС — ; б) кут між і — ; в) кут між і — ; г) кут між і — ( — рівносторонній). 2) На рисунку ABCD — ромб. Пряма MO перпендикулярна до його площини: .

Кут між прямою та площиною

Кутом між прямою та площиною називається кут між цією прямою і її проекцію (ортогональною) на площину. Якщо пряма перпендикулярна до площини, то кут між нею й площиною вважається таким, що дорівнює , а між паралельними прямою та площиною таким, що дорівнює . Кут між прямою та площиною і кут між цією прямою й перпендикуляром до площини в сумі дорівнюють . На рисунку .

Кут між площинами

Кут між паралельними площинами вважається таким, що дорівнює . Нехай дані площини перетинаються (див. рисунок). Проведемо площину, перпендикулярну до прямої їх перетину. Ця площина перетинає дані площини по двох прямих. Кут між цими прямими називається кутом між даними площинами. Означений таким чином кут між площинами не залежить від вибору січної площини. Побудувати кут між площинами можна ще такими способами. 1. Візьмемо довільну точку на прямій перетину площин (див. рисунок). Через цю точку проведемо перпендикуляри до прямої в кожній із площин. Кут між цими пер­­пен­дикулярами буде кутом між даними площи­нами. ; . 2. Беремо точку А, яка лежить тільки в одній із площин, які перетинаються (див. рисунок). Проведемо через точку А перпендикуляри до іншої площини і до прямої їх перетину. З’єднаємо основи перпендикулярів відрізком. Кут між цим відрізком і перпендикуляром до прямої перетину площин буде кутом між площинами. ; . — кут між площинами і . Теорема. Площа ортогональної проекції многокутника на площину дорівнює добутку його площі та косинуса кута між площиною многокутника і площиною проекції.