§20. Полюс, поляра, поляритет.

Пусть на проективной плоскости P² задана овальная линия γ, имеющая в некотором репере уравнение

a_ij xⁱ x^j = 0 (1)

Определение. Точки P (p¹, p², p³) и Q (q¹, q², q³) называются сопряженными относительно овальной линии, если выполняется условие

a_ij pⁱq^j = 0 (2)

На первый взгляд может показаться, что сопряженность двух точек относительно овальной линии зависит от выбора репера, поскольку уравнение овальной линии рассматривается в определенном репере. Однако, как мы убедимся позже, сопряженность точек относительно овальной линии носит геометрический характер, то есть не зависит от выбора репера на проективной плоскости.

Если точка P лежит на овальной линии, то, вспоминая уравнение касательной прямой к линии второго порядка ((9) §19), убеждаемся, что точки P и Q сопряжены относительно γ тогда и только тогда, когда точка Q лежит на касательной к линии второго порядка в точке P.

Следующая теорема раскрывает геометрический смысл сопряженности двух точек, не лежащих на данной овальной линии.

Т еорема. Пусть на проективной плоскости заданы овальная линия γ, и две точки P и Q, не лежащие на γ, причем прямая (PQ) пересекает γ в двух различных точках M и N. Для того, чтобы P и Q были сопряжены относительно γ, необходимо и достаточно, чтобы пара точек P и Q гармонически разделяла пару точек M и N, (т.е. чтобы сложное отношение четырех точек P, Q, M и N было равно -1: (PQ, MN) = -1.

Рис. 17.

Доказательство. Выберем на проективной плоскости произвольный репер R = (A₁, A₂, A₃, E), пусть в этом репере овальная линия имеет уравнение (1) и точки P и Q приобретают проективные координаты P (p¹, p², p³) , Q (q¹, q², q³); прямая (PQ) задается параметрическими уравнениями

x¹= λ p¹ + μ q¹; x²= λ p² + μ q²; x³= λ p³ + μ q³ (3)

Пусть точки пересечения прямой (PQ) и овальной линии имеют следующие координаты:

M(λ₁ p¹ + μ₁ q¹, λ₁ p² + μ₁ q², λ₁ p³ + μ₁ q³)

N(λ₂ p¹ + μ₂ q¹, λ₂ p² + μ₂ q², λ₂ p³ + μ₂ q³) .

Вычислим сложное отношение (PQ, MN). Обозначим через P′, Q′, M′, N′ проекции точек P, Q, M, N на координатную прямую (A₁A₂) из центра A₃, тогда в репере R₃ = (A₁, A₂, E₃) (E₃ =( A₃ E ∩ (A₁ A₂)) имеем P′ (p¹, p²) , Q′ (q¹, q²), M′(λ₁ p¹ + μ₁ q¹, λ₁ p² + μ₁ q²), N′(λ₂ p¹ + μ₂ q¹, λ₂ p² + μ₂ q²).

(PQ, MN) = (P′Q′, M′N′) = = = =

Заметим, что = -1 тогда, и только тогда, когда = 0

Подставляя соотношение (3) в уравнение (1), получаем после деления на λ²:

A₂₂+ 2A₁₂ + A₁₁ = 0 (4)

Поскольку точки P и Q не лежат на овальной линии, то A₂₂ = a_ijpⁱq^j ≠ 0 A₁₁ = a_ij pⁱq^j ≠ 0.

Так как точки M и N лежат на овальной линии, то = - .

Точки P и Q сопряжены относительно γ тогда и только тогда, когда a_ijpⁱq^j = A₁₂= 0, т.е. P и Q сопряжены, если и только если = 0, что в свою очередь равносильно тому, что (PQ, MN) = -1.

Определение. Пусть на проективной плоскости задана овальная линия γ и точка P. Полярой называется множество точек d, сопряженных с точкой P относительно γ, а сама точка P называется полюсом поляры d.

Если овальная линия задается в некотором репере уравнением (1), точка P имеет координаты (p¹, p², p³), то из условия сопряженности (2) получаем уравнение поляры d:

(a_i1pⁱ) x¹ + (a_i2pⁱ) x² + (a_i3pⁱ) x³ = 0 (5)

Поскольку овальная линия невырождена, то не все коэффициенты при x¹, x², x³ равны нулю, поэтому d – прямая. Для каждой точки P (p¹, p², p³), проективной плоскости существует поляра (5) относительно овальной линии (1), и обратно для каждой прямой u₁ x¹ + u₂x² + u₃x³ = 0 существует единственный полюс P, координаты которого определяются системой уравнений

a₁₁p¹+ a₂₁ p²+ a₃₁ p³ = λu₁ a₁₂p¹+ a₂₂ p²+ a₃₂ p³) = λu₂ a₁₃p¹+ a₂₃ p²+ a₃₃ p³) = λu₃,

где λ ≠ 0.

Овальная линия не вырождена, определитель системы не равен нулю, поэтому точка P определяется однозначно (координаты точки P находятся с точностью до ненулевого множителя).

Таким образом, любая овальная линия определяет биекцию P² → (P²)′ проективной плоскости P² на множество (P²)′ ее прямых.

Теорема о взаимности поляритета. Пусть на проективной плоскости задана овальная линия. Если точка Q лежит на поляре точки P, то точка P лежит на поляре точки Q.

Задача 45. С помощью одной линейки (без циркуля) построить касательную, проходящую через заданную точку, к заданной овальной линии на расширенной плоскости.

Задача 46. Пусть на расширенной плоскости задана овальная линия. По данному полюсу построить поляру; по данной поляре построить полюс.