ПОСОБИЕ ПО ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ, МАРТ 13 2010
Тема 3. Проективные координаты точек, проективные системы координат. Второе занятие.
Список необходимых сведений. Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнения прямой на проективной плоскости. Однородные координаты точек на пополненной плоскости и на пополненной прямой.
Практические задания
-
Содержание
- Глава 1. Первоначальные понятия, определения, факты. §1. Возникновение проективной геометрии. Центральное проектирование
- §2. Понятие проективного пространства. Простейшие свойства
- §3. Модели проективного пространства
- §4. Понятие проективных координат
- §5. Проективные координаты на плоскости
- §6. Уравнение прямой на проективной плоскости
- §7. Преобразование проективных координат
- §8. Принцип двойственности
- Глава 2. Некоторые линейные образы проективной геометрии §9. Теорема Дезарга
- §10. Сложное отношение четырех точек прямой
- §11. Сложное отношение четырех прямых пучка проективной плоскости
- §12. Полный четырехвершинник на проективной плоскости
- §13. Проективные отображения прямых и пучков
- §14. Теорема Паппа
- §15. Преобразования проективной прямой. Инволюции.
- §16. Преобразования проективной плоскости. Гомологии.
- Глава 3. Линии второго порядка на проективной плоскости §17. Понятие проективной линии второго порядка
- §18. Проективная классификация линий второго порядка.
- §19. Пересечение проективной линии второго порядка с прямой. Касательная к линии второго порядка.
- §20. Полюс, поляра, поляритет.
- §21. Теорема Штейнера.
- §22. Теоремы Паскаля и Брианшона .
- §23. Предельные случаи теорем Паскаля и Брианшона
- Связь между проективными и аффинными координатами. Геометрия аффинной плоскости с проективной точки зрения.
- Приложение 1 Ответы, указания, решения задач к главам 1, 2, 3.
- Задачи с решениями по всему курсу.
- М етодические указания
- Приложение 2 Содержание курса Проективная геометрия
- 1.Сравнительное изложение аффинной и евклидовой
- 2. Построение проективного пространства
- 3. Проективные координаты точек, проективные системы координат
- 4. Линии 1 порядка на проективной плоскости
- 5. Линии 2 порядка на проективной плоскости
- 6. Проективные преобразования проективных пространств
- 7. Приложение проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии
- Практические задания с решениями
- Тема 1. Сравнительное изложение аффинной и евклидовой геометрий
- Тема 2. Построение проективного пространства
- Построить образы отрезка, луча, прямой, угла, треугольника, окружности при параллельном и центральном проектировании. Рассмотреть различное расположение центра проекций и плоскости проекций.
- Построить следующие сечения конуса плоскостями: эллипсы, параболы, гиперболы.
- Тема 3. Проективные координаты точек, проективные системы координат. Первое занятие.
- На проективной прямой в модели пучка прямых построить прямую пучка (проективную точку) с координатами (a:b).
- На проективной плоскости в модели связки прямых построить прямую пучка (проективную точку) с координатами (a:b:c).
- Тема 3. Проективные координаты точек, проективные системы координат. Второе занятие.
- Написать уравнение бесконечно удаленной прямой в однородных координатах. Рассмотрите разные системы однородных координат на пополненной плоскости.
- Найти однородные координаты точки пересечения прямых
- Найти аффинные координаты точки пересечения прямых
- Найти однородные координаты точки пересечения прямой
- Тема 4. Линии 1 порядка на проективной плоскости. Первое занятие.
- На проективной плоскости прямые a, b, c заданы уравнениями
- Решить аналогичную задачу, если прямые заданы общими уравнениями в аффинных координатах.
- Тема 4. Линии 1 порядка на проективной плоскости. Второе занятие.
- Решение задач, аналогичных рассмотренным в практическом занятии №6, в случае гармонического отношения четырех точек проективной прямой или четырех прямых пучка.
- Построение четвертой гармонической точки прямой или четвертой гармонической прямой пучка для трех данных точек или прямых соответственно.
- Сделать рисунки к теореме Дезарга в случаях, когда
- Решение задач на аффинной плоскости с использованием теоремы Дезарга.
- Записать аффинное уравнение кривой 2 порядка в однородных координатах и, наоборот, записать однородное уравнение кривой 2 порядка в аффинных координатах.
- Найти точки пересечения кривых из задачи 1 с несобственной прямой.
- Даны канонические уравнения эллипса и гиперболы на аффинной плоскости. Записать эти уравнения в однородных координатах и найти проективное преобразование, переводящее кривые друг в друга.
- Решить предыдущую задачу для следующих кривых:
- Тема 7. Приложение проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии
- Список рекомендуемой литературы Основной