2.1 Решение геометрических задач

Задача 1. Даны 4 точки А (2; 7; - 3), В (1; 0;

3), С (-3; - 4;

5), D (-2; 3; - 1). Укажите среди векторов АВ, ВС, DС, АD, АС и ВD равные векторы

Решение. Надо найти координаты указанных векторов и сравнить соответствующие координаты. Таким образом, векторы АВ и DС равны. Другой парой равных векторов будут ВС и АD.

Задача 2: Даны 4 точки А (0; 1; - 1), В (1; - 1;

2), С (3; 1; 0), D (2; - 3;

1). Найдите косинус угла между векторами АВ и СD.

Решение Координатами вектора АВ будут 1-0=1, - 1-1=-2, 2- (-1) =3 .

Координатами вектора СD будут 2-3=-1, - 1-3=-4, 1-0=1 .

Значит .

Задача 3. Дан вектор . Найдите коллинеарный ему вектор с началом в точке А (1; 1;

1) и концом В на плоскости ху

Решение Координата z точки В равна 0. Координаты вектора АВ: . Из коллинеарности векторов и получаем пропорцию . Отсюда находим координаты х, у точки В:

Задача 4. АВСDА₁В₁С₁D_{1 -} параллелепипед. Докажите, что для всякой точки О выполняется равенство ОА+ОС₁ =ОВ₁ +ОD=ОА₁ +ОС

Решение Запишем первое из этих равенств ОА+ОС₁ =ОВ₁ +ОD. Оно равносильно такому ОА-ОD= ОВ₁-ОС_1, которое в свою очередь равносильно такому DА=С₁В₁. А последнее равенство в параллелепипеде выполняется. Аналогично доказывается и второе равенство.

Задача 5. Векторы - единичные. Вычислить:

Решение.1.

, где

2. Так как векторы единичные, то , а т.е. нам нужно найти

=, где

=.

Задача 6. Для вектора найдите перпендикулярный, равный ему по длине.

Решение: Рассмотрим векторы и . Очевидно, что (формула 2.4). Легко убедиться, что .

Действительно, . Аналогично показывается, что .

Таким образом, и - искомые векторы.

Задача 7. Даны координаты вершин треугольника АВС: А (1, 0), В (4, - 3), С (12,5). Точки М и N лежат на сторонах АВ и ВС соответственно и делят их в одинаковом отношении 1: 2. Найдите координаты середины отрезка MN.

Решение: Из чертежа (рис.7) и условия задачи следует, что и . Найдем координаты точек М и N по формулам:

Теперь, зная координаты концов отрезка MN, найдем координаты его середины:

Ответ: .