2.3 Решение систем уравнений

Задача 1. Решить систему уравнений

х + у = 2

х² + у² = 4

Решение. ОДЗ: у ? 1 и х ? 1. Введем векторы = (х, у), = (; ).

Левая часть первого уравнения системы является скалярным произведением векторов и . Определим длины этих векторов и их произведения.

¦¦= , ¦¦= ; ¦¦•¦¦= •.

В соответствии с неравенством • ? ¦¦• ¦¦ и с учетом второго уравнения системы имеем: х + у ? 2 . Знак равенства имеет место, если

=

х² + у² = 4

Ответ: (2;

2)

Задача 2. Решить систему уравнений

4х² + 25у² + 9z² = 1

х - 5у + z =

Решение: Представим первое уравнение системы в следующем виде, а второе - оставим без изменений

(2х) ² + (5у) ² + (3z) ² = 1

х - 5у + z =

Теперь самый важный вопрос - какие координаты должны быть у наших вводимых векторов. Итак, рассмотрим вектор = (2х, 5у, 3z). Но возникают сложности с координатами вектора . Из чего же надо исходить - мы должны так перемножить соответственные координаты векторов и , чтобы их скалярное произведение равнялось левой части второго уравнения системы. Тогда = (, - 1, ). Произведение длин векторов • = 1 • = . Таким образом • = ¦¦• ¦¦, значит векторы коллинеарны, а их координаты пропорциональны, т.е. ==, т.е.4х = - 5у = 9z, откуда у = - , z=.

Эти значения подставляем во второе уравнение системы

Ответ: (; - ; )

Задача 3. Решить систему уравнений

х - 2у + 32 = 15

х² + у² + z² = 16

Решение: Пусть = (х, у, z), = (1,-2,3). Тогда • = х - 2у + 3z = 15 (согласно условия); ¦¦= = = 4 (по условию).

= = ; ¦¦• ¦¦= 4 • • >¦¦• ¦¦, что невозможно.

Ответ: система не имеет решений.

Задача 5. Решите систему уравнения

36 х² + 9 у⁴ + 4 z⁶ = 1

х + у² + z³ =

Решение. Пусть = (6х; 3у²; 2z³), = (; ; ). Тогда • = ;

¦¦= 1, ¦¦ = • >¦¦• ¦¦, что невозможно.

Ответ: система несовместна.

Задача 4. Решите систему уравнений

+ = 10

3х + 4у = 26

Решение. "Поработаем" с левой частью первого уравнения системы:

+ = 10. Пусть = (х-2; у+1), = (10-х; 5-у)

¦¦= , ¦¦=.

Находим координаты суммы векторов и и ее длину + = (8;

6), ¦ + ¦ = 10. В соответствии с векторным неравенством + ? ¦ + ¦, равенство достигается, когда ^^. Значит = 3х - 4у = 10. Теперь с учетом второго уравнения системы имеем:

3х - 4у = 10

3х + 4у = 26.

Отсюда х = 6, у = 2, подставляя эти значения в = : 1 = 1 > 0.

Ответ: (6;

2)