2.4 Доказательство неравенств

Задача 1. Для любых действительных чисел докажите неравенство:

?

Доказательство: Пусть

= (х, у,z), = (; ; ) · = . ¦¦= , ¦¦= ¦¦·¦¦= .

На основании неравенства • ?¦¦• ¦¦ имеем ? . Что и требовалось доказать.

Задача 2. Докажите неравенство: а • 2^х + b • 3^у + 1 ? •

Доказательство: Пусть = (а, b,1), = (2^х, 3^у, 1)

· = а • 2^х + b • 3^у + 1

¦¦ =, ¦¦ = ¦¦• ¦¦ = •

В силу векторного неравенства • ?¦¦• ¦¦ данное неравенство доказано.

Задача 3. Для любых действительных чисел а, в и с доказать неравенство.

а⁴ + b⁴ + с⁴ ? а² b² + b² с² + с² а²

Доказательство.

1) Область определения дано в условии (аR, bR, сR).

2) Введем векторы = (а^2, b², с²) и = (b², с², а²).

3) Находим их скалярное произведение в координатной форме и их длины

• = а² b² + b² с² + с² а²;

¦¦ = , ¦¦=

Вывод: на основании векторного неравенства • ?¦¦• ¦¦ имеем:

• = а⁴ + b⁴ + с⁴ ? а² b² + b² с² + с² а².Ч. т.д.

Задача 4. Докажите неравенство:

+ + ? 15 для всех чисел а,b и с, которые удовлетворяют условию а + b + с =1 и для которых левая часть неравенства имеет смысл.

Доказательство.

Пусть = (; ; ), = (1; 1;

1) • = + +; ¦¦= ==

¦¦ = . Согласно неравенству •?¦¦•¦, имеем++?15, так как < 15.Ч. т.д.

вектор сумма скалярное произведение