logo
61

2.2. Действия над векторами

В предыдущем параграфе мы определили вектор как направленный отрезок. Однако вектор можно определять еще и с помощью координат. Это позволяет использовать в векторной алгебре законы алгебры и анализа. Координатами вектора называют проекции вектора на координатные оси [2, гл. II, п. 5.3, 5.4]. Вектор, имеющий координаты аx, аy, аz, можно записывать в двух равнозначных формах:

или

(9)

Выражение (9) называют разложением вектора по базисным векторам ( — единичные взаимно перпендикулярные векторы — базис в пространстве; — базис на плоскости).

Замечание. Если начало вектора находится в точке М1 (x1; y1; z1), а конец в точке М2 (x2; y2; z2), то вектор будет иметь координаты

. (10)

Пример 7 [1, к задачам № 21-30, п. 1]. Даны точки А(1; 6; 5) и В(3; 4; 5). Найти координаты вектора .

Решение

Принимая за начало вектора точку А, а за конец — точку В, по формуле (10) получим

Замечание. В координатной форме векторы считаются равными, если равны их соответствующие координаты, т.е.

Рассмотрим теперь, какие действия производятся над векторами и как они осуществляются. Следует только помнить, что эти действия можно выполнять как в векторной, так и в координатной формах. Все действия над векторами приведены в таблице 2.

Таблица 2

Действия над векторами

Название

Определение в векторной форме

Выражение в координатной форме

1. Сложение векторов

1) по правилу параллелограмма

2) по правилу

треугольника

2. Вычитание векторов

Как действие, обратное сложению:

3. Умножение вектора на число λ

4. Скалярное произведение векторов

5. Векторное произведение векторов

6. Смешанное произведение векторов

Пример 8 [1, к задачам № 21-30]. Даны векторы:

Найти:

Решение

Векторы заданы в виде разложений по базисным векторам. Найдем их координаты:

Выполним вышеуказанные действия над векторами, учитывая, что векторы заданы координатами. Используя таблицу 2, получим:

Yandex.RTB R-A-252273-3
Yandex.RTB R-A-252273-4