2.2 Решение уравнений

Задача 1. Решите уравнение + = 5

Решение. Пусть = (х - 1;

1), = (5 - х;

2) + = (4;

3) ¦ + ¦= 5. Исходя из + ? ¦ + ¦ имеем ^^:

=

> 0 х = .

Ответ:

Задача 2. Решить уравнение х + = 2

Решение: ОДЗ: - 1 ? х ? 3. Рассмотрим векторы = (; ) и (х;

1). Левая часть данного уравнения является скалярным произведением векторов и , а произведение их длин - правая часть. В соответствии с векторным неравенством • ? ¦¦• ¦¦ имеем х + ? 2

Причем знак равенства имеет место, если коэффициенты пропорциональны, то есть = , откуда х³ - 3х² + х + 1 = 0. Замечаем, что х = 1 корень этого уравнения. Выполнив деление, получим х ³ + 3х ² + х + 1: (х-1) = х² - 2х-1, то есть х³ + 3х² + х + 1 = (х-1) (х² - 2х - 1). Решая уравнение х² - 2х - 1 = 0, находим его корни х=1±. Но х=1+ входит в ОДЗ уравнения х + ? 2 . Непосредственной проверкой убеждаемся, что х=1, и х=1+ удовлетворяют данному уравнению.

Ответ: 1; 1+