Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Если в точке (х₀,у₀) функция достигает максимума или минимума (если (х₀,у₀) -

точка экстремума ), то в этой точке её частные производные обращаются в нуль или не существуют, т.е. , или не существует.

Доказательство: Дано: (х₀,у₀) - точка экстремума, z=f(x,y).

Дадим у определённое значение у₀. Тогда z=f(x,y₀) будет функцией одной переменной х и согласно неоходимому условию экстремума функции одной переменной, производная от этой функции равна нулю или не существует т.е. или не существует. Аналогично, положим, что х=х₀, тогда z=f(x₀,у) - функция одной переменной у и согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной или не существует.

Теорема. Достаточное условие экстремума функции двух переменных

Пусть z=f(x,y) в критической точке (х₀,у₀) непрерывна и имеет частные

производные включительно до второго порядка, и пусть, где Тогда

1. если и А<0,то (х₀,у₀) - точка максимума

2. если и А>0 ,то (х₀,у₀) - точка минимума

3. если , то экстремума нет.

4. если ответа нет, т.е. требуются дополнительные исследования.

Пример. Исследовать на экстремум функцию z=x²+3xy-18x-12y.

M (4;

-экстремума нет.