Касательная плоскость и нормаль поверхности

Дана функцияz=f(x,y), дифференцируемая в точке N₀(x_0,,y_0,,z₀). Графиком её является некоторая поверхность.

Опр. Касательной плоскостью поверхности z=f(x,y) d в точке N_o, называется плоскость, для которой угол между этой плоскостью и секущей N_oN стремится к нулю при стремлении точки N к N_o по поверхности.

при ;

Касательная плоскость либо существует в точке, либо не существует.

Например, возьмём поверхность:

;

вточке (0,0,0) касательная к плоскости не существует, т.к.: ;

Частные производные в точке (0,0,0,) не существуют, значит функция не дифференцируема в этой точке.

Пусть функция дифференцируема в точке (x₀,y₀). Покажем, что плоскость, заданная уравнением z-z₀=fx’(x₀,y₀)(x-x₀)+fy’(x₀,y₀)(y-y₀) является касательной поверхностью.

Дадим и приращения и .

=

=

Известно, что т.к. функция дифференцируема, то ее точное приращение представимо в виде:

,

где - бесконечно малые при т.е. мы имеем, что:при т.е. при , при этом . Значит, рассматриваемая плоскость является касательной.

Опр. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной плоскости, называется нормалью поверхности в данной точке.