Условный экстремум

Требуется найти экстремум функции z=f(x,y), при условии, что х и у связаны соотношением:. Такой экстремум называется условным.

Равенство задаёт y как функцию от х неявно. Если бы удалось выразить y через х и подставить в функцию z = f(x,y), то z была бы функцией от одной переменной х. Поэтому в точках экстремума.

Найдём (по правилу дифференцирования сложной функции):.T.к., тo (l).

Продифференцируем функцию по правилу дифференцирования сложной функции: (2).

Равенство (2) умножим на некоторое число, сложим с равенством (1). Получим:.

Раскроем скобки:.

Подберём таким образом, чтобы выражение.

Тогда . Добавим уравне­ние (х,y)=0 и получим систему, которая позволяет найти х, у,, в которых необходимым условием условного экстремума являются:.

Для облегчения написания этих условий вводится функция Лагранжа:.

Найдём: