Дифференциал третьего порядка

Символически дифференциалы различных порядков можно записать следующим образом:

Замечание Дифференциалы высших порядков свойством инвариантности не обладают. Рассмотрим dz=f_x’ (x,y)dx+f_y’ (x,y)dy ,где х и у являются некоторыми функциями

от других переменных. В этом случае dx и dy фиксировать нельзя. Тогда

d²z = d(dz)=d(f_x’(x,y)dx + f_y’(x,y)dy) =

= d(f_x’(x,y)dx )+ d(f_y’(x,y)dy)={по свойству дифференциалов, что d(u^.v)=v^.du+u^.dv}= d(f_x’(x,y))dx + f_x’(x,y)d(dx)+d(f_y’(x,y))dy+f_y’(x,y)d(dy) =

(f_xx’’(x,y)dx+f_xy’’(x,y)dy)dx+fx’(x,y)d²x+(f_yx’’(x,y)+f_yy’’(x,y)dy)dy+f_y’(x,y)d²y=

=f_xx’’(x,y)dx²+2f_xy’’(x,y)dxdy+f_yy’’(x,y)dy²+f_x’(x,y)d²x+f_y’(x,y)d²y

Форма дифференциалов изменилась.

Пример. Найти дифференциал второго порядка z=ln(x³+y²)