Производная по направлению

Дана функция U=f(x,y,z), дифференцируемая в точке M(x,y,z). Дадим x,y,z приращение .

СоединимM и N. Проведем диагональ и обозначим вектор Известны направляющие косинусы

Т.к. функция u=f(x,y,z) дифференцируема в точке M(x,y,z), то её полное

приращение представимо в виде:

гдебесконечно малые при т.е.

Разделим обе части равенства на :

Но:

Тогда:

Перейдём к пределу при :

Опр. Если существует предел , то он называется производной от

функции u=f(x,y,z) по направлению S и обозначается:

Пример. Найти производную функции u=xy²+z³-xyz в точке М(1;1;2) в направ­лении, образующимся осями координат (углы:60°,45°,60°).