Дифференциалы высших порядков

Дана функция z=f(x,y), дифференцируемая в точке х. Было ранее установлено, что

dz=f_x’(x,y)dx+f_y’(x,y)dy ,где х и у независимые переменные.

Зафиксируем dx и dy.

Опр. Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифферен­циала первого порядка и обозначается:

d² z=d(dz)=d(f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy)=d(f_x’(x,y)dx)+d(f_y’(x,y)dy)=

=d(f_x’(x,y))dx+d(f_y’(x,y))dy=((f_xx’’(x,y))dx+(f_xy’’(x,y))dy)dx+(f(_yx’’(x,y)dx+f_yy’’(x,y)dy)dy=f_xx’’(x,y)dx²+2f_xy’’(x,y)dxdy+f_yy’’(x,y)dy²

d²z=f_xx’’(x,y)dx²+2f_xy’’(x,y)dxdy+f_yy’’(x,y)dy²