Наибольшее наименьшее значения функции в области

Пусть функция непрерывна в замкнутой области. Тогда по свойству функций, непрерывных в замкнутой области, она достигает в этой области своего наимень­шего m и наибольшего М значений. Чтобы найти эти значения, нужно:

1.найти критические точки функции и вычислить значение функции в этих точках;

2.найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах;

3.среди найденных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x²+y² -ху+х+y в области, заданной неравенством:

1.Находим критические точки: +(-1,1) z(-l,-l)=-l.

2.Исследуем на границе:

а)АО: x. Уравнение границы: у=0. Линия пересечения у=0 с поверхностью z=x²+у²-ху+х+у имеет вид: z=x²+х (подстановка в уравнение y=0). Задача сводится к отысканию наибольшего, наименьшего значения функции z от -3 до 0 . z (-3)=6;

z (0)=0;

z'=2x+1; 2x+1=0;

б) OB: x=0; y [-3;0]

Линия пересечения: z=y² +у.

z (-3)=0;

z (0)=6;

в)АВ: уравнение: х+у=-3; у=-х-3

Линия пересечения: z=x²+(-x-3)²-х(-х-3)+х-х-3; z=3х²+9х+6; х[-3;0].

z(0)=6; z'=6x+9; 6х+9=0; x=-

z(-3)=6;

3. Среди найденых значений z выбираем наибольшее и наименьшее: m=-1, М=6.