Третье достаточное условие экстремума функции.

Пусть функция y=f(x) имеет производные до n-ого порядка в -окрестности точки и производные до n+1-ого порядка в самой точке . Пусть и .

Тогда,

• если n – четное, то - точка перегиба;

• если n – нечетное, то - точка экстремума, причем

  • если , то - точка минимума;

  • если , то - точка максимума.

Пример.

Найти точки экстремума функции .

Решение.

Исходная функция является целой рациональной, ее областью определения является все множество действительных чисел.

Продифференцируем функцию:

Производная обращается в ноль при , следовательно, это точки возможного экстремума. Воспользуемся третьим достаточным условием экстремума.

Находим вторую производную и вычисляем ее значение в точках возможного экстремума (промежуточные вычисления опустим):

Следовательно, - точка максимума (для третьего достаточного признака экстремума имеем n=1 и ).

Для выяснения характера точек находим третью производную и вычисляем ее значение в этих точках:

Следовательно, - точка перегиба функции (n=2 и ).

Осталось разобраться с точкой . Находим четвертую производную и вычисляем ее значение в этой точке:

Следовательно, - точка минимума функции.

Графическая иллюстрация.

Ответ:

 - точка максимума, - точка минимума функции.