2.Способы задания функции.

 Функция f(x) называется функцией целочисленного аргумента, если множество значений x, для которых она определена, является множеством всех натуральных чисел1, 2, 3,… Примером функции целочисленного аргумента может служить сумма n первых чисел натурального ряда. В данном случае

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

  (1)

следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого  задается как функция целочисленного аргумента,  т.е.  .

Число А называется пределом последовательности (1), если для любого   существует число  , такое, что при  выполняется неравенство  . Если число А есть предел последовательности (1), то пишут

Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Для сходящихся последовательностей имеют место теоремы:

 если  .

Пример 1. 

 Найти общий член последовательности 1, 4, 9, 16, 25, …

Р е ш е н и е : нетрудно видеть, что

 и т.д.

Следовательно 

Пример 2.

 Найти общий член последовательности 

Р е ш е н и е : не трудно видеть, что

 ,  

 ,  и т.д.

Следовательно:

  Пример 3.

 Доказать, что последовательность с общим членом  имеет предел, равный нулю.

Р е ш е н и е : запишем ряд членов последовательности

и положим  . Для всех членов данной последовательности, начиная с четвертого, выполняется равенство

Действительно

 и т.д.

В данном случае N (см. определение предела последовательности) можно принять равным трем (или любому числу, больше трех), так как, если порядковый номер члена последовательности n больше трех, то выполняется неравенство

 .

Положим теперь  . Ясно, что для всех членов последовательности начиная с седьмого,

 .

Теперь за N можно принять шесть (или любое число, большее шести). Если  , то  и т.д.

В данном случае можно найти общее выражение для числа N в зависимости от  . Общий член данной последовательности  . Задавшись произвольным положительным числом  , мы должны в соответствии с определением предела, потребовать, чтобы при n > N выполнялось неравенство , если  .

Решая неравенство относительно n, получаем  . Итак, за N можно принять число  (или любое большее число). Таким образом, мы показали, что для любого  существует такое  , чтопри  , выполняется неравенство  , а это и доказывает, что пределом последовательности является нуль.

Отметим, что в этой задаче члены последовательности приближались к своему пределу, оставаясь больше этого предела, как говорят, справа.