14.Определение числового ряда. Сходимость ряда.

  Бесконечным числовым рядом называется выражение

содержащее неограниченное число членов, где

u₁ , u₂ , u₃ , ... , u_n , ...

- бесконечная числовая последовательность; u_n называется общим членом ряда.   Для составления ряда нужно знать закон образования общего члена.   Например, если u_n = 2*n+1, то ряд имеет вид:

3, 5, 7, 9, ..., 501, 503, ..., n*2+1

  Если u_n = (-1)ⁿ, то ряд имеет вид:

-1, +1, -1, +1, ..., -1, +1, ..., (-1)ⁿ

  Сумма первых n членов ряда обозначается символом S_n и называется частичной суммой этого ряда. Таким образом,

S_n = u₁ + u₂ + ... + u _n

или, короче,

  Определение: Ряд называется сходящимся, если сумма первых его n членов при n стремится к конечному пределу S, называемому суммой ряда.   Если ряд (1) сходится, т.е. имеет сумму S, то пишут

S = u₁ + u₂ + ... + u _n + ...

  Если же при n сумма S_n не имеет предела или

то ряд (1) называется расходящимся и не имеет суммы.    Типичным примером сходящегося ряда может служить ряд, полученный из бесконечно убывающей геометрической прогрессии

где

-1 < q < 1

  Действительно, для этого ряда

  При n   qⁿ0 (так как | q |<1), поэтому

и ряд (2) будет сходящимся. Таким образом можно написать

  Если q = 1, то ряд (2) имеет вид

  Сумма S_n первых его n членов, равная na, по абсолютной величине неограниченно возрастает при неограниченном возрастании числа n. Таким образом, ряд (3) - расходящийся.   Если q = -1, то ряд (2) примет вид

  Ясно, что для этого ряда

S_2n=0 ,   S_2n-1=a.

т.е.сумма четного числа первых 2n членов ряда (4) стремится к нулю, а сумма нечетного числа первых 2n-1 его членов стремится к a.   Отсюда следует, что ряд (4) расходится, так как в сходящемся ряде как S_2n так и S_2n-1 стремятся к одному и тому же пределу S.   Ясно, что если | q |>1, то ряд (2) является также расходящимся.