1.Числовая последовательности и ее предел.

 Функция f(x) называется функцией целочисленного аргумента, если множество значений x, для которых она определена, является множеством всех натуральных чисел1, 2, 3,… Примером функции целочисленного аргумента может служить сумма n первых чисел натурального ряда. В данном случае

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

  (1)

следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого  задается как функция целочисленного аргумента,  т.е.  .

Число А называется пределом последовательности (1), если для любого   существует число  , такое, что при  выполняется неравенство  . Если число А есть предел последовательности (1), то пишут

Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Для сходящихся последовательностей имеют место теоремы:

 если  .

Пример 1. 

 Найти общий член последовательности 1, 4, 9, 16, 25, …

Р е ш е н и е : нетрудно видеть, что

 и т.д.

Следовательно 

Пример 2.

 Найти общий член последовательности 

Р е ш е н и е : не трудно видеть, что

 ,  

 ,  и т.д.

Следовательно:

  Пример 3.

 Доказать, что последовательность с общим членом  имеет предел, равный нулю.

Р е ш е н и е : запишем ряд членов последовательности

и положим  . Для всех членов данной последовательности, начиная с четвертого, выполняется равенство

Действительно

 и т.д.

В данном случае N (см. определение предела последовательности) можно принять равным трем (или любому числу, больше трех), так как, если порядковый номер члена последовательности n больше трех, то выполняется неравенство

 .

Положим теперь  . Ясно, что для всех членов последовательности начиная с седьмого,

 .

Теперь за N можно принять шесть (или любое число, большее шести). Если  , то  и т.д.

В данном случае можно найти общее выражение для числа N в зависимости от  . Общий член данной последовательности  . Задавшись произвольным положительным числом  , мы должны в соответствии с определением предела, потребовать, чтобы при n > N выполнялось неравенство , если  .

Решая неравенство относительно n, получаем  . Итак, за N можно принять число  (или любое большее число). Таким образом, мы показали, что для любого  существует такое  , чтопри  , выполняется неравенство  , а это и доказывает, что пределом последовательности является нуль.

Отметим, что в этой задаче члены последовательности приближались к своему пределу, оставаясь больше этого предела, как говорят, справа.