вышмат

Примеры

Объём конуса зависит от высоты и радиуса основания

Объём V конуса зависит от высоты h и радиуса r, согласно формуле

Частная производная объема V относительно радиуса r

которая показывает скорость, с которой изменяется объём конуса, если его радиус меняется, а его высота остаётся неизменной. Например, если считать единицы измерения объёма , а измерения длины , то вышеуказанная производная будет иметь размерность скорости измерения объёма , т.е. изменение величины радиуса на 1 м будет соответствовать изменению объёма конуса на .

Частная производная относительно h

которая показывает скорость, с которой изменяется объём конуса, если его высота меняется, а его радиус остаётся неизменным.

Полная производная V относительно r и h

Различие между полной и частной производной — устранение косвенных зависимостей между переменными в последней.

Если (по некоторым причинам) пропорции конуса остаются неизменными, то высота и радиус находятся в фиксированном отношении k,

Это даёт полную производную относительно r:

20. Экстремум функции двух переменных

Определение 1.11 Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y)D. ТочкаM₀(x₀;y₀) - внутренняя точка области D.

Если в D присутствует такая окрестность UM₀ точки M₀, что для всех точек

то точка M₀ называется точкой локального максимума. А само значение z(M₀) - локальным максимумом.

А если же для всех точек

то точка M₀ называется точкой локального минимума функции z(x,y). А само значение z(M₀) - локальным минимумом.

Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y). На рис. 1.4 поясняется геометрический смысл локального максимума: M₀ - точка максимума, так как на поверхности z =z (x,y) соответствующая ей точка C₀ находится выше любой соседней точки C (в этом локальность максимума).

Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например, В), которые находятся выше C₀, но эти точки (например, В) не являются "соседними" с точкой C₀.

В частности, точке В соответствует понятие глобального максимума:

Аналогично определяется и глобальный минимум:

Нахождение глобальных максимумов и минимумов будет рассмотрено в п.1.10.

Теорема 1.3 (необходимые условия экстремума).

Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y)D. Точка M₀(x₀;y₀D - точка локального экстремума.

Если в этой точке существуют z'_x и z'_y, то

Геометрическое доказательство "очевидно". Если в точке C₀ на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она "естественно" пройдет горизонтально, т. е. под углом 0° к оси Ох и к оси Оу.

Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис.1.3):

что и требовалось доказать.

Определение 1.12.

Если в точке M₀ выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функции z (x,y).

Теорема 1.4 (достаточные условия экстремума).

Пусть задана z =z (x,y), (x,y)D, которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки M₀(x₀,y₀)D. Причем M₀ - стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим:

Если:

Доказательство теоремы использует темы (формула Тейлора функции нескольких переменных и теория квадратичных форм), которые в этом пособии не рассматриваются.

Пример 1.13.

Исследовать на экстремум:

Решение

1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41):

то есть найдены четыре стационарные точки. 2.

по теореме 1.4 в точке – минимум. Причём

по теореме 1.4 в точке

- максимум. Причём

Содержание