logo
вышмат

15.Признак сходимости Даламбера и Коши

Жан Лерон Даламбер – это знаменитый французский математик 18-го века. Вообще, Даламбер специализировался на дифференциальных уравнениях и на основании своих исследований занимался баллистикой, чтобы у Его Величества лучше летали пушечные ядра. Заодно и про числовые ряды не забыл, не зря потом шеренги наполеоновских войск так четко сходились и расходились.

Перед тем как сформулировать сам признак, рассмотрим важный вопрос: Когда нужно применять признак сходимости Даламбера?

Сначала начнем с повторения. Вспомним случаи, когда нужно применять самый ходовойпредельный признак сравнения. Предельный признак сравнения применяется тогда, когда в общем члене ряда: 1) В знаменателе находится многочлен. 2) Многочлены находятся и в числителе и в знаменателе. 3) Один или оба многочлена могут быть под корнем.

Основные же предпосылки для применения признака Даламбера следующие:

1) В общий член ряда («начинку» ряда) входит какое-нибудь число в степени, например, , ,  и так далее. Причем, совершенно не важно, где эта штуковина располагается, в числителе или в знаменателе – важно, что она там присутствует.

2) В общий член ряда входит факториал. С факториалами мы скрестили шпаги ещё на уроке Числовая последовательность и её предел. Впрочем, не помешает снова раскинуть скатерть-самобранку: ……

! При использовании признака Даламбера нам как раз придется расписывать факториал подробно. Как и в предыдущем пункте, факториал может располагаться вверху или внизу дроби.

3) Если в общем члене ряда есть «цепочка множителей», например, . Этот случай встречается редко, но! При исследовании такого ряда часто допускают ошибку – см. Пример 6.

Вместе со степенями или (и) факториалами в начинке ряда часто встречаются многочлены, это не меняет дела – нужно использовать признак Даламбера.

Кроме того, в общем члене ряда может встретиться одновременно и степень и факториал; может встретиться два факториала, две степени, важно чтобы там находилось хоть что-тоиз рассмотренных пунктов – и это как раз предпосылка для использования признака Даламбера.

Признак Даламбера: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: , то: а) При  ряд сходится. В частности, ряд сходится при . б) При  ряд расходится. В частности, ряд расходится при . в) При  признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Чаще всего единица получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нужно использовать предельный признак сравнения.

У кого до сих пор проблемы с пределами или недопонимание пределов, обратитесь к урокуПределы. Примеры решений. Без понимания предела и умения раскрывать неопределенность  дальше, к сожалению, не продвинуться.

Огюстен Луи Коши – еще более знаменитый французский математик. Биографию Коши вам может рассказать любой студент технической специальности. В самых живописных красках. Не случайно эта фамилия высечена на первом этаже Эйфелевой башни.

Признак сходимости Коши для положительных числовых рядов чем-то похож на только что рассмотренный признак Даламбера.

Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел: , то: а) При  ряд сходится. В частности, ряд сходится при . б) При  ряд расходится. В частности, ряд расходится при . в) При  признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Интересно отметить, что если признак Коши не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера нам тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не даёт ответа, то признак Коши вполне может «сработать». То есть, признак Коши является в этом смысле более сильным признаком.

Когда нужно использовать радикальный признак Коши? Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда общий член ряда ПОЛНОСТЬЮ находится в степени, зависящей от «эн». Либо когда корень  «хорошо» извлекается из общего члена ряда. Есть еще экзотические случаи, но ими голову забивать не будем.

16.  Несобственные интегралы

Определенный интеграл ∫abf(x)dx называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

  • Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

  • Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b].

Бесконечные пределы интегрирования

Пусть f(x) является непрерывной функцией в интервале [a,∞). Несобственный интеграл определяется через предел следующим образом:

∫a∞f(x)dx=limn→∞∫anf(x)dx.

Рассмотрим также случай, когда функция f(x) непрерывна в интервале (−∞,b]. В этом случае несобственный интеграл определяется как

∫−∞bf(x)dx=limn→−∞∫nbf(x)dx.

Если указанные выше пределы существуют и конечны, то говорят что несобственные интегралы сходятся. В противном случае интегралы расходятся.  Пусть f(x) является непрерывной функцией на множестве действительных чисел. Тогда справедливо соотношение

∫−∞∞f(x)dx=∫−∞cf(x)dx+∫c∞f(x)dx.

Если для некоторого действительного числа c оба интеграла в правой части сходятся, то говорят, что интеграл ∫−∞∞f(x)dx также сходится; в противном случае он расходится.

Теоремы сравнения

Пусть f(x) и g(x) является непрерывными функциями в интервале [a,∞). Предположим, что 0≤g(x)≤f(x) для всех x в интервале [a,∞). Тогда справедливы следующие утверждения:

  1. Если ∫a∞f(x)dx сходится, то ∫a∞g(x)dx также сходится;

  2. Если ∫a∞g(x)dx расходится, то ∫a∞f(x)dx также расходится;

  3. Если ∫a∞|f(x)|dx сходится, то ∫a∞f(x)dx также сходится. В этом случае говорят, что интеграл ∫a∞f(x)dx является абсолютно сходящимся.

Интеграл от разрывной функции

Пусть функция f(x) непрерывна в интервале [a,b), но имеет разрыв в точке x=b. В этом случаенесобственный интеграл определяется в виде

∫abf(x)dx=limτ→0+∫ab−τf(x)dx.

Аналогично можно рассмотреть случай, когда функция f(x) непрерывна в интервале (a,b], но имеет разрыв при x=a. Тогда

∫abf(x)dx=limτ→0+∫a+τbf(x)dx.

Если приведенные выше пределы существуют и конечны, то говорят, что соответствующие несобственные интегралы сходятся. В противном случае они считаются расходящимися.  Пусть f(x) непрерывна для всех действительных x в интервале [a,b], за исключением некоторой точки c∈(a,b). Тогда справедливо соотношение

∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx,

и говорят, что несобственный интеграл ∫abf(x)dx сходится, если оба интеграла в правой части верхнего равенства сходятся. В противном случае несобственный интеграл расходится. 

Yandex.RTB R-A-252273-3
Yandex.RTB R-A-252273-4