4.Первый замечательный предел.

Первый замечательный предел:

Определение

Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.

Применение первого замечательного предела на практике

Пример

Задание. Найти предел 

Решение. Воспользуемся заменой и первым замечательным пределом.

Ответ. 

Пример

Задание. Найти предел 

Решение. Разложим тангенс на синус и косинус и воспользуемся свойствами пределов.

Ответ. 

Следствия из первого замечательного предела

1°   

2°   

3°   

4°   

5.Второй замечательный предел.

1

Второй замечательный предел:

здесь е - число Эйлера.

Пример

Задание. Найти предел 

Решение. Подставим , получим неопределенность и для решения предела воспользуемся вторым замечательным пределом.

Ответ. 

Следствия из второго замечательного предела

1°   

2°   

3°   

4°   

5°   

6°   

6.Непрерывность элементарных функций

Важнейшим свойством всех элементарных функций является их непрерывность в каждой точке определения. Убедимся в этом на примере некоторых элементарных функций.Рациональные функции.— непрерывна во всех точках, поскольку для любого значения аргумента.— непрерывна во всех точках, так как.— непрерывна по теореме о произведении непрерывных функций.Многочлен— непрерывен по теореме о сумме (разности) непрерывных функций.По теореме о частном непрерывных функцийдробно-рациональная функция— непрерывна везде, где.Тригонометрические функции.,— непрерывны всюду. Рассмотрим функцию.Так как, а последнее выражение стремится к нулю при, то и. Неравенствоследует из того что синус угла α (отсчитываемый от направления оси абсцисс) представляет собой величину ординаты точки на единичной окружности, а угол α есть длина дуги этой окружности.Аналогично доказывается непрерывность.По теореме о частном непрерывных функцийтригонометрические функции,— непрерывны всюду, где знаменатель не обращается в ноль.— непрерывна всюду, так как, а непрерывность приочевидна.Вычисление пределов непрерывных функцийДля непрерывных функцийзадача вычисления предела становится тривиальной. Если известно, что функциянепрерывна в некоторой точке, то ее пределв этой точке может быть вычислен нахождением значения функции в этой точке.Пример 1.Найти предел .Поскольку является непрерывной функцией, можем сразу найти предел=.Пример 2.Найти предел .И в числителе, и в знаменателе стоят непрерывные функции. Поскольку знаменатель отличен от нуля в точке , можем воспользоваться теоремой о пределе частного и записать.Пример 3.Найти предел .И в числителе, и в знаменателе стоят непрерывные функции. Поскольку знаменатель отличен от нуля в точке , можем воспользоваться теоремой о пределе частного и записать=.