Определение

Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции в точке .

То есть, рядом Тейлора для функции в окрестности точки называется степенной ряд относительно двучлена вида 

Связанные определения

• В случае, если , этот ряд также называется рядом Маклорена.

Свойства

• Если есть аналитическая функция в любой точке , то её ряд Тейлора в любой точке области определения сходится к в некоторой окрестности .

• Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности . Коши предложил такой пример:

У этой функции все производные в нуле равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке равны нулю.

Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

В форме Коши:

В интегральной форме:

Ослабим предположения:

• Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки 

• И производную в самой точке , тогда:

В асимптотической форме (форме Пеано, локальной форме):

Формула Тейлора для функции двух переменных

Пусть функция имеет полные производные вплоть до -го порядка включительно в некоторой окрестности точки . Введём дифференциальный оператор

.

Тогда разложением в ряд Тейлора функции по степеням и в окрестности точки будет

где  — остаточный член в форме Лагранжа:

В случае функции одной переменной , поскольку для функции одной переменной частная производная тождественно равна полной. Аналогично формула распространяется на функции от любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе .