Тема 1. Числовые ряды.

Числовой ряд. Общий член последовательности. Частичная сумма ряда. Сходящийся ряд. Расходящийся ряд. Основные теоремы о сходящихся числовых рядах. Признаки сходимости и расходимости рядов.

Студент должен знать:

- определение числового ряда;

- определение члена ряда;

- определение общего члена ряда;

- определение частичной суммы ряда;

- определение суммы ряда;

- основные теоремы о сходящихся рядах;

- признаки сходимости и расходимости ряда.

Студент должен уметь:

- находить первые члены ряда, если дан общий член; - находить общий член ряда, если даны первые члены; - находить сумму ряда;

- исследовать сходимость ряда.

Самостоятельная работа.

Решение типовых задач.

Методические рекомендации к контрольной работе.

Производная

Понятие производной является одним из важнейших понятий математики. Многие задачи как самой математики, так естествознания и техники приводят к этому понятию.

Производной функции y=f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, т.е.

П роизводная обозначается одним из символов: , а её значения при обозначаются

Функция, имеющая конечную производную, называется дифференцируемой, а операция нахождения производной называется дифференцированием.

Если и - дифференцируемые функции, то производная сложной функции существует и равна произведению производной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной :

Формулы дифференцирования.

1. 4.

2. 5.

3. 6.

Остальные формулы даны как для функций независимой переменной, так и для сложных функций:

7. 7а.

8. 8а.

9. 9а.

10. 10а.

11. 11а.

12. 12а.

13. 13а.

14. 14а.

15. 15а.

16. 16а.

17. 17а.

где >0;

Найти производные функций:

Пример №1

используем формулы 3;5;7;8

Пример №2

Применяем для решения формулы 6;3;7 и 1: получим

;

Пример №3

используем формулы:3;5;7а;11;16а получим.

Пример №5

решаем по формулам:6;12;3;1

Геометрический смысл производной. Производная функции , представляет собой угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в любой её точке; пусть точка тогда и формула

Уравнение касательной, проведённой к графику в этой точке, имеет вид

№1. Найти угол наклона касательной к оси 0x и уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой

Решение. Найдем значение производной данной функции в точке

угол наклона касательной

или

Уравнение касательной в точке имеет вид

Находим значение функции

Подставим в формулу найденные значения:

Получаем

или

Физический смысл производной.

Если тело движется по прямой по закону , то производная пути S по времени t равна скорости движения тела в данный момент времени t:

Задача: Закон движения точки по прямой задан формулой

Найти скорость движения точки, равна производной пути S по времени t.

Вторая производная

Второй производной функцией называется производная от её первой производной . Аналогично определяется производная любого порядка.

Найти вторую производную.

Пример №1

Решение:

по формуле имеем

Пример №2

Дифференцируя ещё раз, найдём вторую производную.

Физический смысл второй производной.

Если тело движется прямолинейно по закону , то вторая производная пути S по времени t равна ускорению движения тела в данный момент t

Таким образом, первая производная характеризует скорость движения, а вторая – ускорение.

Пример №1

Материальная точка движется по закону. . Найти её скорость и ускорение в конце 3-й секунды.

Решение. Находим скорость

тогда

при получим .

Пример №2

В момент времени t тело находится на расстоянии от места отправления. Найти его ускорение через 2 часа.

Решение. Находим

при имеем .

Пример №3

Точка движется прямолинейно по закону . Найти момент времени, когда ускорение точки равно . Решение.

при имеем

.

Приложения производной к исследованию функций.

Интервалы, на которых функция только возрастает или же только убывает, называются интервалами монотонности функции, а сама функция называется монотонной на этих интервалах.

Определение:

Если производная функции положительна в некотором интервале, то функции в этом интервале монотонно возрастает.

Если производная функции отрицательна в некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно убывает.

Геометрически поясняем.

:

если , то , т.е. угол - острый, а это возможно лишь при возрастании функции

если , то , т.е. угол - тупой, а это возможно лишь при убывании функции.

y y

М₂ М₁ М₂

М₁

x x

Правило нахождения интервалов монотонности.

1. Вычислить производную данной функции

2. Найти точки, в которых равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими.

3. Найденными точками область определения функции разбивается на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. Эти интервалы являются интервалами монотонности.

4. Исследуем знак на каждом интервале. Если , то функция возрастает на этом интервале; если же , то она убывает. Экстремумы функции.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремальными.

1. Если при переходе через критическую точку I рода производная функции меняет знак, то - точка экстремума.

При этом если производная меняет знак с плюса на минус то - точка максимума; если же производная меняет знак с минуса на плюс, то - точка минимума.

2. Условие. Если в точке первая производная функции обращается в нуль, а вторая производная отлична от нуля, то - точка экстремума. При этом если вторая производная в этой точке положительна , то - точка минимума; если вторая производная в этой точке отрицательна то - точка максимума.

Пример. Найти экстремумы функции

Решение.

1. Область определения функции служит множество всех действительных чисел, т.е. .

2. Функция имеет производную . Найдём критические точки , , ,

3. Находим вторую производную функции 0 2

. Исследуем знак второй производной в каждой критической точке: , значит, - точка максимума, ; значит, - точка минимума, .

Направление вогнутости и точки перегиба кривой.

Кривая называется выпуклой в точке , если в некоторой окрестности этой точки она расположена под своей касательной в точке .

Кривая называется вогнутой в точке , если в некоторой окрестности этой точки она расположена над своей касательной в точке .

Теорема: Если вторая производная функции в дан - ном промежутке положительна , то кривая вогнута , а если отрицательна - выпукла в этом промежутке.

Точкой перегиба непрерывной кривой называется точка А, при переходе через которую кривая меняет выпуклость на вогнутость или наоборот.

А

Пример: Исследовать на выпуклость, вогнутость и точки перегиба кривую .

Решение.

1. Определяем первую и вторую производные:

2. Из уравнения имеем, т.е. - критическая точка II рода

3. Если , то и в промежутке кривая выпукла. Если , то и в промежутке кривая вогнута, а - абсцисса точки перегиба.

4. При получим , т.е. - точка перегиба.

1

Общая схема исследования функции и построения их графиков.

1. Найти область определения функции.

2. Выяснить четность, нечетность и периодичность функции.

3. Найти точки пересечения графика с осями координат.

4. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.

5. Найти направление вогнутости и точки перегиба графика функции.

6. Построить график функции, используя все полученные результаты исследования.

Пример: Построить график функции .

Решение:

1. Область определения . Функция непрерывна на всей прямой.

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, т.к. и .

3. Если , то , т.е. график функции пересекает ось ординат в точке .

4. ; ;

; - критические

-2

5. Исследуем функцию на монотонность и экстремум.

Область разделилась на промежутки.

Найдем значение производной на каждом из них и составим таблицу.

Имеем, функция возрастает

функция убывает

функция возрастает

Значит, при функция имеет максимум

, а при функция имеет минимум .

6. Н аходим

Определим знаки второй производной слева и право от критической точки - выпуклость

- вогнутость

Следовательно, точка и

- точка перегиба. Строим график.

y -20

-

0 X

- 12 _

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение производной функции.

2. В чем состоит геометрический и физический смысл производной.

3. Дайте определение второй производной функции.

4. В чем состоит физический смысл второй производной.

5. Напишите все формулы дифференцирования.

6. Сформулируйте условие постоянства функции, а так же возрастания и убывания.

7. Сформулируйте необходимое условие существования экстремума функции.

8. Как найти точки экстремума функции.

9. Как найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке?

10. Сформулируйте условия выпуклости и вогнутости кривой.

11. Как найти направление вогнутости и точки перегиба кривой?

12. Найдите производные функций:

а) б) в) г) д) е)

Ответы: а) б) в) г) д) е)

Интеграл и его приложения.

Понятие неопределённого интеграла.

Дифференцирование- это действие, с помощью которого по данной функции находится её производная, а интегрирование – это действие, обратное дифференцированию, т.е. по данной производной находится сама функция, от которой найдена эта производная.

Например , то , так как .

Дифференцируемая функция , называется первообразной для функции на интеграле , если для каждого интервала .

Так , для функции первообразной служит функция , поскольку Справедлива теорема: если - первообразная для на некотором промежутке, то и функция , где С – любая постоянная, также является первообразной для функции на данном промежутке. Обратно: каждая функция, являющаяся первообразной для в данном промежутке может быть записана в виде . Значит, достаточно найти для данной функции только одну первообразную функцию , чтобы знать все первообразные, так как они отличаются друг от друга только на постоянную величину.

Совокупность всех первообразных функций на интервале называют неопределённым интегралом от функции на этом интервале и пишут .

Здесь - подынтегральное выражение; - подынтегральная функция; - переменная интегрирования; С- произвольная постоянная.

Например.

а) , так как

б) , так как

Свойства неопределённого интеграла.

1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению .

2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной, т.е.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла

4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов от каждой функции: