Многогранники и круглые тела

В теме “Многогранники” изучаются призма, параллелепипед, пирамида – полная и усечённая. Надо знать различия между наклонный, прямым и прямоугольным параллелепипедами. При изучении пирамид и их свойств следует помнить, что если ребра пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то её вершина проектируется в центр окружности, описанной около основания; если же грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то её вершина проектируется в центр окружности, вписанной в основание.

Боковая поверхность неправильной пирамиды, вычисляется как сумма площадей боковых граней.

Выведенные формулы боковых поверхностей цилиндра и конуса. Разберите теоремы о шаре, его частях и поверхностях. Уясните основные допущения в объёмах. Выведите формулы для вычисления объёмов многогранников, цилиндра, конуса, шара. Используйте формулы при решении задач.

Задача 1.

В прямом параллелепипеде стороны основания равны 3см и 5см, а одна из диагоналей основания 4см. Меньшая диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол 60 . Определить диагонали параллелепипеда.

Дано: AB=5см,

BC=3см

BD=4см

A

Найти: и

Решение:

Так как то BD – меньшая диагональ основания. Из находим ; , а катет, лежащий против угла в равен половине гипотенузы, т.е. . По теореме Пифагора находим:

В параллелограмме ABCD имеем или

Из прямоугольного треугольника находим:

Ответ:

Задача 2

Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна 3 см, а её боковая поверхность 54 . Найти объем призмы.

С

D

A

F E

Дано: правильная шестиугольная призма; AB=3см, Sбок=54

Найти: Vпр

Решение:

следовательно

тогда

Найдём S

Ответ:

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение многогранника

2. Перечислите виды многогранников

3. Какими свойствами обладают грани и диагонали параллелепипеда

4. Дайте определения цилиндрической и конической поверхности

5. Дайте определения цилиндра, конуса, усеченного конуса, шара

6. Выпишите формулы поверхностей и объемов многогранников и круглых тел

7. Сформулируйте свойства диагоналей прямоугольного параллелепипеда.

Литература:

1. Алгебра и начало анализа. Г.Н. Яковлев I и II часть

2. Геометрия. Г.Н. Яковлев. I и II часть

3. Математика для техникумов И.И. Валуцэ

4. Практические занятия по математике Н.В. Богомолов.

Пояснительная записка по выполнению контрольной работы.

Работа состоит из 6 вопросов, каждый вопрос содержит 10 вариантов. Студент выполняет задания каждого вопроса согласно номера по последней цифре зачетной книжки: 1,2, и т.д. Если последняя цифра зачетной книжки 0, то студент выполняет 10 (десятый) вариант.