2.1. Понятие преобразования родства

Родство - аффинное преобразование, имеющее прямую неподвижных точек. Его задаёт формула :

Осью этого преобразования является прямая , примем её за действительную ось Ох: [1]. Тогда очевидно, что с=0 и b=1-a. Поэтому преобразование (20) с действительной осью записывается формулой:

Рис. 2

Выясним особенности этого преобразования. Перепишем его следующим образом (22) составим из этого выражения и сопряжённого к нему выражения пропорцию . Откуда , а это является условием того, что векторы с координатами и перпендикулярны. Так как а-1 - постоянные вектор, а z и z - координаты соответственных точек М и М при аффинном преобразовании (рис. 2), то все прямые, соединяющие точки М и М будут параллельны между собой и параллельны некоторому вектору с координатой (а-1)i, называемому направлением аффинного преобразования, в данном случае - родства.

Если (а-1) - чисто мнимое число (то есть , откуда ), то направление родства будет коллинеарно оси родства. В этом случае аффинное преобразование называется сдвигом вдоль прямой и условия, которые его задают, имеют вид , , (23)

Если же направление аффинного преобразования не совпадает с направлением его оси, то оно называется сжатием к прямой и его задают следующие условия: , , (24)