§5. Свойство площадей треугольников

Докажем, что площадь треугольника пропорциональна площади его образа при некотором аффинном преобразовании (2) с коэффициентом пропорциональности, равным определителю этого аффинного преобразования. [1]

Пусть точки M, N и K неколлинеарны, тогда точки M, N и K, являющиеся образами точек M, N и K при некотором аффинном преобразовании (2), также неколлинеарны. Найдём отношение площадей ориентированных треугольников MNK и MNK. Воспользуемся формулой площади положительно ориентированного треугольника: ,

Для координат точек M, N и K выполняются равенства

Преобразуем формулу площади второго треугольника (6), подставив вместо координат его вершин их выражения через координаты вершин первого треугольника, получим:

После последовательных преобразований полученного выражения имеем: , то есть . Таким образом, площадь треугольника пропорциональна площади его прообраза с коэффициентом пропорциональности, равным определителю аффинного преобразования, что и требовалось доказать.

Следствие. Отношение площади треугольника к площади его образа при аффинном преобразовании является инвариантом этого аффинного преобразования.

Найденное свойство площадей треугольников можно обобщить на произвольные -угольники.