Аффинные преобразования евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах

§3. Эллиптический поворот

Эллипс - это образ окружности при аффинном преобразовании. [1]

Рассмотрим ортогональное сжатие g к действительной оси.

Его задают условия: (28)

а обратное к нему аффинное преобразование g^-1 имеет формулу: , где , откуда в силу (28) обратное преобразование имеет вид: (29)

При ортогональном сжатии окружность перейдёт в эллипс (рис. 5). Коэффициент рассматриваемого сжатия равен , тогда . и называются большой и малой осями эллипса при . Найдём уравнение этого эллипса. Для этого в уравнении окружности заменим z на правую часть (29), получим: , тогда . Преобразовав данное равенство, получим: , откуда получаем уравнение эллипса .

Рассмотрим две произвольные точки окружности N и N₁. Точку N можно перевести в точку N₁ поворотом h на некоторый угол вокруг точки О: , где , , .

P N₁

K M₁

C O D X

Рис. 5

Пусть точки М и М₁ - образы точек соответственно N и N₁ при ортогональном сжатии g. Тогда точку М можем перевести в точку М₁ следующим образом:

1) (преобразование, обратное ортогональному сжатию);

2) (поворот вокруг точки О на угол );

3) (ортогональное сжатие).

Тогда , где . Найдём формулу преобразования f.

1. Сначала найдём формулу преобразования : .

2. Найдём формулу для преобразования f: , откуда получаем - это формула эллиптического поворота.

Проверим, будет ли определитель рассматриваемого преобразования не равен нулю. Преобразуем выражение определителя

, используя равенство , тогда получим, что . Следовательно, определитель преобразования не равен нулю, и f является аффинным преобразованием, что и требовалось доказать.

Так как определитель рассматриваемого аффинного преобразования положителен, то эллиптический поворот - это аффинное преобразование первого рода.

Это преобразование имеет единственную неподвижную точку О, значит оно является центроаффинным. При этом преобразовании каждая точка М плоскости (М?О) переходит в другую точку, которая принадлежит соответствующему эллипсу. Этот эллипс при рассмотренном преобразовании переходит сам в себя. Преобразование с объявленными свойствами называется эллиптическим поворотом.

Выясним, имеет ли эллиптический поворот инвариантные пучки параллельных прямых. Для этого найдём дискриминант характеристического уравнения этого преобразования. Комплексные координаты векторов при аффинном преобразовании (2) переходят в коллинеарные им векторы по формуле , откуда получаем уравнение . Решая его, получим характеристическое уравнение . Найдём (), его значение равно , тогда характеристическое уравнение запишется в виде: . Его дискриминант отрицателен (так как ). Следовательно, f - аффинное преобразование с единственной неподвижной точкой О и не имеющее инвариантных пучков параллельных прямых, то есть эллиптический поворот - эквицентроаффинное преобразование.

Формулу (29) эллиптического поворота можно записать в виде системы условий: Эту формулу можно представить иначе: , то есть эллиптический поворот является композицией сжатия к действительной оси и подобия первого рода с центром в точке О.

Содержание