Аффинные преобразования евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах
§3. Эллиптический поворот
Эллипс - это образ окружности при аффинном преобразовании. [1]
Рассмотрим ортогональное сжатие g к действительной оси.
Его задают условия: (28)
а обратное к нему аффинное преобразование g-1 имеет формулу: , где , откуда в силу (28) обратное преобразование имеет вид: (29)
При ортогональном сжатии окружность перейдёт в эллипс (рис. 5). Коэффициент рассматриваемого сжатия равен , тогда . и называются большой и малой осями эллипса при . Найдём уравнение этого эллипса. Для этого в уравнении окружности заменим z на правую часть (29), получим: , тогда . Преобразовав данное равенство, получим: , откуда получаем уравнение эллипса .
Рассмотрим две произвольные точки окружности N и N1. Точку N можно перевести в точку N1 поворотом h на некоторый угол вокруг точки О: , где , , .
Y
P N1
N
M
K M1
C O D X
Т
Q
Рис. 5
Пусть точки М и М1 - образы точек соответственно N и N1 при ортогональном сжатии g. Тогда точку М можем перевести в точку М1 следующим образом:
1) (преобразование, обратное ортогональному сжатию);
2) (поворот вокруг точки О на угол );
3) (ортогональное сжатие).
Тогда , где . Найдём формулу преобразования f.
1. Сначала найдём формулу преобразования : .
2. Найдём формулу для преобразования f: , откуда получаем - это формула эллиптического поворота.
Проверим, будет ли определитель рассматриваемого преобразования не равен нулю. Преобразуем выражение определителя
, используя равенство , тогда получим, что . Следовательно, определитель преобразования не равен нулю, и f является аффинным преобразованием, что и требовалось доказать.
Так как определитель рассматриваемого аффинного преобразования положителен, то эллиптический поворот - это аффинное преобразование первого рода.
Это преобразование имеет единственную неподвижную точку О, значит оно является центроаффинным. При этом преобразовании каждая точка М плоскости (М?О) переходит в другую точку, которая принадлежит соответствующему эллипсу. Этот эллипс при рассмотренном преобразовании переходит сам в себя. Преобразование с объявленными свойствами называется эллиптическим поворотом.
Выясним, имеет ли эллиптический поворот инвариантные пучки параллельных прямых. Для этого найдём дискриминант характеристического уравнения этого преобразования. Комплексные координаты векторов при аффинном преобразовании (2) переходят в коллинеарные им векторы по формуле , откуда получаем уравнение . Решая его, получим характеристическое уравнение . Найдём (), его значение равно , тогда характеристическое уравнение запишется в виде: . Его дискриминант отрицателен (так как ). Следовательно, f - аффинное преобразование с единственной неподвижной точкой О и не имеющее инвариантных пучков параллельных прямых, то есть эллиптический поворот - эквицентроаффинное преобразование.
Формулу (29) эллиптического поворота можно записать в виде системы условий: Эту формулу можно представить иначе: , то есть эллиптический поворот является композицией сжатия к действительной оси и подобия первого рода с центром в точке О.